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法学Z变换的指数序列乘法性质
Z变换
Z变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为z域中的代数方程。数学上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是一个离散时间函数，则其Z变换定义为：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
Z变换的指数序列乘法性质
说明 - Z变换的指数乘法性质指出，时间域中乘以指数序列对应于z域中的缩放。指数乘法性质也称为Z变换的z域缩放性质。因此，如果
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)};\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\mathit{R}}$$
那么，根据指数乘法性质，
$$\mathrm{\mathit{a^{\mathit{n}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\frac{\mathit{z}}{\mathit{a}}}\right)};\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\left| \mathit{a}\right|\mathit{R}}$$
其中，*a* 是一个复数。
证明
根据Z变换的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{a^{\mathit{n}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{a^{\mathit{n}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{a^{\mathit{n}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\frac{\mathit{z^{\mathit{-n}}}}{\mathit{a^{\mathit{-n}}}}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathrm{\left ( \frac{\mathit{z}}{\mathit{a}} \right )}^{-\mathit{n}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{a^{\mathit{n}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left ( \frac{\mathit{z}}{\mathit{a}} \right )}}$$
也可以表示为：
$$\mathrm{\mathit{a^{\mathit{n}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\frac{\mathit{z}}{\mathit{a}}}\right)};\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\left| \mathit{a}\right|\mathit{R}}$$
重要 -
如果给定的时间域序列乘以一个增长指数序列，即$\mathit{e}^{j\omega n}$，则
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{e}^{\mathit{j\omega n}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]} \:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left( \frac{\mathit{z}}{\mathit{e}^{\mathit{j\omega }}} \right )}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left( \mathit{e}^{-\mathit{j}\omega }\mathit{z}\right )}}$$
如果给定的时间域序列乘以一个衰减指数序列，即$\mathit{e}^{-j\omega n}$，则
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{e}^{\mathit{-j\omega n}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]} \:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left( \frac{\mathit{z}}{\mathit{e}^{\mathit{-j\omega }}} \right )}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left( \mathit{e}^{\mathit{j}\omega }\mathit{z}\right )}}$$
数值例子 (1)
利用Z变换的指数乘法性质，求下列信号的Z变换
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \:\mathrm{=}\:\mathrm{\left( 2\right )}^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
解答
给定的序列是：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \:\mathrm{=}\:\mathrm{\left( 2\right )}^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
由于单位阶跃函数的Z变换为：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}}{\mathit{z}-1};\:\mathrm{ROC}\to\left|\mathit{z} \right|>1}$$
现在，利用z域缩放或指数性质$\mathrm{\left [ i.e,\mathit{a^{\mathit{n}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\frac{\mathit{z}}{\mathit{a}}}\right)} \right ]}$的Z变换，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathrm{\left ( 2 \right )}^{\mathrm{\mathit{n}}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}_{\mathit{z=\mathrm{\left ( \frac{\mathit{z}}{2} \right )}}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{\left ( \frac{\mathit{z}}{2} \right )}}{\mathrm{\left ( \frac{\mathit{z}}{2} \right )}-1}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathrm{\left ( 2 \right )}^{\mathrm{\mathit{n}}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}}{\mathit{z}-2};\:\mathrm{ROC}\to\left|\mathit{z} \right|>2}$$
数值例子 (2)
利用Z变换的z域缩放性质，求下列信号的Z变换
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \:\mathrm{=}\:\mathrm{\mathrm{\left ( \frac{1}{2} \right )}}^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
解答
给定的序列是：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \:\mathrm{=}\:\mathrm{\mathrm{\left ( \frac{1}{2} \right )}}^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$
由于单位阶跃序列的Z变换为：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}}{\mathit{z}-1};\:\mathrm{ROC}\to\left|\mathit{z} \right|>1}$$
现在，根据指数乘法性质$\mathrm{\left [ i.e,\mathit{a^{\mathit{n}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\frac{\mathit{z}}{\mathit{a}}}\right)} \right ]}$，我们有：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathrm{\left ( \frac{1}{2} \right )}^{\mathrm{\mathit{n}}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}_{\mathit{z=\mathrm{\left [ \frac{\mathit{z}}{\frac{1}{2}} \right ]}}=2\mathit{z}}\:\mathrm{=}\:\frac{2\mathit{z}}{\mathrm{2}\mathit{z}-1}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathrm{\left ( \frac{1}{2} \right )}^{\mathrm{\mathit{n}}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left ( \frac{\mathit{z}}{\mathit{z}-\frac{1}{2}} \right )};\:\mathrm{ROC}\to\left|\mathit{z} \right|>\frac{1}{2}}$$
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