单边实指数函数的傅里叶变换

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傅里叶变换

连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换可以定义为：

$$\mathrm{X(\omega)= \int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$

单边实指数函数的傅里叶变换

单边实指数函数定义为：

$$\mathrm{x(t)=e^{-a t}u(t)}$$

其中，$u(t)$ 是单位阶跃信号，定义为：

$$\mathrm{u(t)=\begin{cases}1 & for\:t≥ 0 \0 & for\:t < 0 \end{cases}}$$

然后，根据傅里叶变换的定义，我们有：

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{−\infty}^{\infty}e^{-at}u(t)e^{-j\omega t}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-at}e^{-j\omega t}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-(a+j\omega)t} dt=\left[\frac{e^{-(a+j\omega)t}}{-(a+j\omega)} \right]_{0}^{\infty}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{1}{-(a+j\omega)}[e^{-\infty}-e^{0}]=\frac{0-1}{-(a+j\omega)}=\frac{1}{a+j\omega}}$$

因此，单边实指数函数的傅里叶变换为：

$$\mathrm{F[e^{-at}u(t)]=\frac{1}{a+j\omega}}$$

或者，也可以表示为：

$$\mathrm{e^{-at}u(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{a+j\omega}}$$

单边实指数函数的傅里叶变换的幅度和相位表示

单边实指数函数的傅里叶变换由下式给出：

$$\mathrm{X(\omega)=\frac{1}{a+j\omega}}$$

乘以有理化因子，得到：

$$\mathrm{X(\omega)=\frac{a-j\omega}{(a+j\omega)(a-j\omega)}=\frac{a-j\omega}{a^{2}+\omega^{2}}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{a}{a^{2}+\omega^{2}}-j\frac{\omega}{a^{2}+\omega^{2}}=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+\omega^{2}}}\angle-tan^{-1}\left(\frac{\omega}{a}\right)}$$

因此，单边指数函数的傅里叶级数的幅度和相位由下式给出：

$$\mathrm{幅度, |X(\omega)|=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+\omega^{2}}};\:\:for\:all\:\omega}$$

$$\mathrm{相位,\angle X(\omega)=-tan^{-1}\left(\frac{\omega}{a}\right);\:\:for\:all\:\omega}$$

图中显示了单边或单边实指数函数及其幅度和相位谱的图形表示。