数据结构
网络
关系数据库管理系统 (RDBMS)
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C语言编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理学
化学
生物学
数学
英语
经济学
心理学
社会学
服装学
法学傅里叶变换的调制特性
傅里叶变换
连续时间函数$x(t)$的傅里叶变换定义为：
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
傅里叶变换的调制特性
结论 – 连续时间傅里叶变换的调制特性指出，如果连续时间函数$x(t)$乘以$cos \:\omega_{0} t$，则其频谱在频率上向上和向下平移$\omega_{0}$。因此，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$
那么，根据CTFT的调制特性，
$$\mathrm{x(t)\:cos\:\omega_{0}t\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{2}[X(\omega-\omega_{0})+X(\omega+\omega_{0})]}$$
证明
利用欧拉公式，我们得到：
$$\mathrm{cos\:\omega_{0}t=\left [\frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2} \right ]}$$
因此，
$$\mathrm{x(t)\:cos\:\omega_{0}t=x(t)\left [ \frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}\right ]}$$
现在，根据傅里叶变换的定义，我们有：
$$\mathrm{F[x(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega_{0} t} \:dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\:cos\:\omega_{0} t\:e^{-j\omega_{0} t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\left [ \frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}\right ]e^{-j\omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\frac{1}{2}F[x(t)e^{j\omega_{0} t}]+\frac{1}{2}F[x(t)e^{-j\omega_{0} t}]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\frac{1}{2}X(\omega -\omega_{0})+\frac{1}{2}X(\omega + \omega_{0})}$$
因此，傅里叶变换为：
$$\mathrm{F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\frac{1}{2}[X(\omega -\omega_{0})+X(\omega + \omega_{0})]}$$
或者，也可以表示为：
$$\mathrm{x(t)\:cos\:\omega_{0} t\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{2}[X(\omega -\omega_{0})+X(\omega + \omega_{0})]}$$
类似地，当信号x(t)乘以$sin \:\omega_{0}\:t$时，根据CTFT的调制特性，信号的傅里叶变换由下式给出：
$$\mathrm{x(t)\:sin\:\omega_{0} t\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{2j}[X(\omega -\omega_{0})- X(\omega + \omega_{0})]}$$
数值例子
利用傅里叶变换的调制特性，求$[sin\:\omega_{0}\:t]$的傅里叶变换。
解答
已知：
$$\mathrm{x(t)=sin\:\omega_{0}\:t}$$
设$x(t)$乘以函数$x_{1}(t)$为：
$$\mathrm{x(t)=x_{1}(t)\cdot sin\:\omega_{0}\:t}$$
其中：
$$\mathrm{x_{1}(t)=1}$$
此外，常数幅值的傅里叶变换由下式给出：
$$\mathrm{F[x_{1}(t)]=F[1]=2\pi\delta(\omega)}$$
现在，利用调制特性，我们得到：
$$\mathrm{F[x(t)]=F[x_{1}(t)\:sin\:\omega_{0}\:t]=\frac{1}{2j}[X_{1}(\omega -\omega_{0})- X_{1}(\omega + \omega_{0})]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:F[(1)\cdot sin\:\omega_{0}\:t]=\frac{1}{2j}[2\pi\delta(\omega - \omega_{0})-2\pi\delta(\omega + \omega_{0})]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:F[sin\:\omega_{0}t]=\frac{1}{j}[\pi\delta(\omega - \omega_{0})-\pi\delta(\omega + \omega_{0})]}$$
因此，所给函数的傅里叶变换为：
$$\mathrm{F[sin\:\omega_{0}t]=j\pi[\delta(\omega + \omega_{0})-\delta(\omega - \omega_{0})]}$$
12K+ 浏览量
