傅里叶变换的调制特性

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傅里叶变换

连续时间函数$x(t)$的傅里叶变换定义为：

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$

傅里叶变换的调制特性

结论 – 连续时间傅里叶变换的调制特性指出，如果连续时间函数$x(t)$乘以$cos \:\omega_{0} t$，则其频谱在频率上向上和向下平移$\omega_{0}$。因此，如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$

那么，根据CTFT的调制特性，

$$\mathrm{x(t)\:cos\:\omega_{0}t\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{2}[X(\omega-\omega_{0})+X(\omega+\omega_{0})]}$$

证明

利用欧拉公式，我们得到：

$$\mathrm{cos\:\omega_{0}t=\left [\frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2} \right ]}$$

因此，

$$\mathrm{x(t)\:cos\:\omega_{0}t=x(t)\left [ \frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}\right ]}$$

现在，根据傅里叶变换的定义，我们有：

$$\mathrm{F[x(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega_{0} t} \:dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\:cos\:\omega_{0} t\:e^{-j\omega_{0} t}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\left [ \frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}\right ]e^{-j\omega t}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\frac{1}{2}F[x(t)e^{j\omega_{0} t}]+\frac{1}{2}F[x(t)e^{-j\omega_{0} t}]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\frac{1}{2}X(\omega -\omega_{0})+\frac{1}{2}X(\omega + \omega_{0})}$$

因此，傅里叶变换为：

$$\mathrm{F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\frac{1}{2}[X(\omega -\omega_{0})+X(\omega + \omega_{0})]}$$

或者，也可以表示为：

$$\mathrm{x(t)\:cos\:\omega_{0} t\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{2}[X(\omega -\omega_{0})+X(\omega + \omega_{0})]}$$

类似地，当信号x(t)乘以$sin \:\omega_{0}\:t$时，根据CTFT的调制特性，信号的傅里叶变换由下式给出：

$$\mathrm{x(t)\:sin\:\omega_{0} t\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{2j}[X(\omega -\omega_{0})- X(\omega + \omega_{0})]}$$

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数值例子

利用傅里叶变换的调制特性，求$[sin\:\omega_{0}\:t]$的傅里叶变换。

解答

已知：

$$\mathrm{x(t)=sin\:\omega_{0}\:t}$$

设$x(t)$乘以函数$x_{1}(t)$为：

$$\mathrm{x(t)=x_{1}(t)\cdot sin\:\omega_{0}\:t}$$

其中：

$$\mathrm{x_{1}(t)=1}$$

此外，常数幅值的傅里叶变换由下式给出：

$$\mathrm{F[x_{1}(t)]=F[1]=2\pi\delta(\omega)}$$

现在，利用调制特性，我们得到：

$$\mathrm{F[x(t)]=F[x_{1}(t)\:sin\:\omega_{0}\:t]=\frac{1}{2j}[X_{1}(\omega -\omega_{0})- X_{1}(\omega + \omega_{0})]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:F[(1)\cdot sin\:\omega_{0}\:t]=\frac{1}{2j}[2\pi\delta(\omega - \omega_{0})-2\pi\delta(\omega + \omega_{0})]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:F[sin\:\omega_{0}t]=\frac{1}{j}[\pi\delta(\omega - \omega_{0})-\pi\delta(\omega + \omega_{0})]}$$

因此，所给函数的傅里叶变换为：

$$\mathrm{F[sin\:\omega_{0}t]=j\pi[\delta(\omega + \omega_{0})-\delta(\omega - \omega_{0})]}$$