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法学从傅里叶级数推导傅里叶变换
傅里叶级数
考虑一个周期信号𝑔(𝑡)，其周期为T，则函数𝑔(𝑡)的傅里叶级数定义为：
$$\mathrm{g(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}t}\:\:\:\:....(1)}$$
其中，𝐶𝑛是傅里叶级数系数，由下式给出：
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt\:\:\:\:....(2)}$$
从傅里叶级数推导傅里叶变换
设𝑥(𝑡)为非周期信号，且𝑥(𝑡)和𝑔(𝑡)之间的关系由下式给出：
$$\mathrm{X(t)=\lim_{T\rightarrow \infty}g(t)\:\:\:\:.....(3)}$$
其中，T是周期信号𝑔(𝑡)的周期。
重新排列等式(2)，得到：
$$\mathrm{TC_n=\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt}$$
项𝐶𝑛表示频率nω0的分量的幅度。
令nω0 = ω，当𝑇 → ∞时，我们有：
$$\mathrm{\omega_0=\frac{2\pi}{t}|_{T\rightarrow \infty}\rightarrow 0}$$
因此，离散傅里叶频谱变为连续的，因此求和变为积分，且[𝑔(𝑡) → 𝑥(𝑡)]。因此，当𝑇 → ∞时，
$$\mathrm{TC_n=\lim_{T\rightarrow \infty}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)e^{-j\omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow TC_n=\int_{-\infty}^{\infty}[\lim_{T\rightarrow \infty}g(t)]e^{-j\omega t}dt\:\:\:\:.....(4)}$$
根据等式(3)和(4)，我们有：
$$\mathrm{\Rightarrow TC_n=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt=X(\omega)\:\:\:\:....(5)}$$
因此，非周期信号的傅里叶变换为
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt\:\:\:\:....(6)}$$
函数X(ω)表示函数𝑥(𝑡)的频谱，称为频谱密度函数。
傅里叶逆变换
周期函数𝑔(𝑡)的傅里叶级数定义为：
$$\mathrm{g(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_n e^{jn\omega_0 t}}$$
$$\mathrm{\because C_n=\frac{TC_n}{T}=\frac{X(\omega)}{T}\:\:\:[from\:eq.(5)]}$$
$$\mathrm{\therefore g(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{X(\omega)}{T}e^{jn\omega_0 t}}$$
$$\mathrm{\because n\omega_0=\omega\:and\:T=\frac{2\pi}{\omega_0}}$$
$$\mathrm{\therefore g(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{X(\omega)}{(2\pi/\omega_0)}e^{jn\omega_0t}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{X(\omega)}{2\pi}e^{jn\omega_0t}\omega_0\:\:\:....(7)}$$
因此，根据等式(3)和(7)，我们有
$$\mathrm{x(t)=\lim_{T\rightarrow \infty}g(t)=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{jn\omega_0t}\omega_0\:\:\:....(8)}$$
当𝑇 → ∞时，我们有：
$$\mathrm{\omega_0=\frac{2\pi}{T}|_{T\rightarrow \infty}\rightarrow 0}$$
因此，𝜔0可以用𝑑𝜔表示，求和变为积分。因此，等式(8)可以写成：
$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega\:\:\:....(9)}$$
这里，𝑥(𝑡)称为X(ω)的傅里叶逆变换。
等式(6)中X(ω)的表达式和等式(9)中𝑥(𝑡)的表达式称为傅里叶变换对，可以表示为：
$$\mathrm{X(\omega)=F[x(t)]}$$
$$\mathrm{}$$
以及
$$\mathrm{x(t)=F^{-1}[X(\omega)]}$$
傅里叶变换对也可以表示为
$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$
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