数据结构
网络
RDBMS
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C 编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理学
化学
生物学
数学
英语
经济学
心理学
社会学
时尚研究
法律研究离散时间傅里叶变换
离散时间傅里叶变换
离散时间信号可以使用离散时间傅里叶变换在频域中表示。因此，离散时间序列的傅里叶变换称为离散时间傅里叶变换 (DTFT)。
数学上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是一个离散时间序列，则其离散时间傅里叶变换定义为 -
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$
离散时间序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的离散时间傅里叶变换 X(ω) 表示该序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的频率内容。因此，通过对离散时间序列进行傅里叶变换，将序列分解为其频率成分。出于这个原因，DTFT X(ω) 也被称为信号频谱。
离散时间傅里叶变换的存在条件
离散时间序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的傅里叶变换存在当且仅当序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是绝对可和的，即
$$\mathrm{\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right|<\infty }$$
指数增长序列的离散时间傅里叶变换 (DTFT) 不存在，因为它们不是绝对可和的。
此外，分析系统的 DTFT 方法只能应用于渐近稳定的系统，不能应用于不稳定的系统，即 DTFT 只能用于分析其传递函数的极点位于单位圆内的系统。
数值示例 (1)
求序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的离散时间傅里叶变换。
解答
给定的离散时间序列为：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\begin{cases} 1 & \text{ 当 } n\geq 0 \ 0 & \text{ 当 } n< 0 \end{cases}}$$
现在，根据 DTFT 的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}\:\mathrm{=}\:\:\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty}\mathrm{\left ( 1 \right )}\mathit{e^{-j\omega n}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{1-\mathit{e^{-j\omega }}}}$$
数值示例 (2)
求序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}$的 DTFT。
解答
给定的离散时间序列为：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\:\mathrm{=}\:\begin{cases} 1 & \text{ 当 } n\geq k \ 0 & \text{ 当 } n< k \end{cases}}$$
现在，根据 DTFT 的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n-k }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}\:\mathrm{=}\:\:\sum_{\mathit{n=k}}^{\infty}\mathrm{\left ( 1 \right )}\mathit{e^{-j\omega n}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n-k }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{-j\omega k}\mathrm{+}\:\mathit{e^{-j\omega\mathrm{\left ( \mathit{k}+1 \right)}}\:\mathrm{+}\:\mathit{e^{-j\omega\mathrm{\left ( \mathit{k}+2 \right )} }}\:\mathrm{+}\:...}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n-k }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{-j\omega k}\mathrm{\left ( 1\:\mathrm{+}\:\mathit{e^{-j\omega}}\:\mathrm{+}\:\mathit{e^{-j\mathrm{2}\omega}}\:\mathrm{+}\:\mathit{e^{-j\mathrm{3\omega }}}\:\mathrm{+}\:... \right )}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n -k}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{e^{-j\omega k}}}{1-\mathit{e^{-j\omega }}}}$$
数值示例 (3)
求序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{\delta}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}$的 DTFT。
解答
给定的离散时间序列为：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{\delta}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\:\mathrm{=}\:\begin{cases} 1 & \text{ 当 } n= k \ 0 & \text{ 当 } n
eq k \end{cases}}$$
因此，根据离散时间傅里叶变换的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{\delta}\mathrm{\left(\mathit{n-k }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{\delta}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left [ \mathit{e^{-j\omega n}} \right]}_{\mathit{n=k}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{\delta }\mathrm{\left(\mathit{n-k }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{-j\omega k}}}$$
数值示例 (4)
求离散时间傅里叶变换$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left\{1,3,-2,5 \right\}}$。
解答
给定的离散时间序列为：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left\{1,3,-2,5,2 \right\}}}$$
序列的 DTFT 定义为 -
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\:\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{1}\right)}\mathit{e^{-j\omega }}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\:\mathrm{\left(\mathrm{2}\right)}\mathit{e^{-j\mathrm{2}\omega}}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\:\mathrm{\left(\mathrm{3}\right)}\mathit{e^{-j\mathrm{3}\omega }}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\:\mathrm{\left(\mathrm{4}\right)}\mathit{e^{-j\mathrm{4}\omega }}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:1\:\mathrm{+}\:3\mathit{e^{-j\omega }}-2\mathit{e^{-j\mathrm{2}\omega}}\:\mathrm{+}\:5\mathit{e^{-j\mathrm{3}\omega }}\:\mathrm{+}\:2\mathit{e^{-j\mathrm{4}\omega}}}$$
30K+ 浏览量
