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法律学离散时间傅里叶变换的频域微分性质
离散时间傅里叶变换
离散时间序列的傅里叶变换称为离散时间傅里叶变换 (DTFT)。
在数学上，离散时间序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的离散时间傅里叶变换 (DTFT) 定义为：
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$
DTFT 的频域微分性质
说明 - 离散时间傅里叶变换的频域微分性质指出，离散时间序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 乘以 n 等效于其离散时间傅里叶变换在频域中的微分。因此，如果：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$$
那么
$$\mathrm{\mathit{n}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{j}\frac{\mathit{d}}{\mathit{d\omega }}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$$
证明
根据 DTFT 的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$
对等式两边关于 ω 求导，得到：
$$\mathrm{\frac{\mathit{d}}{\mathit{d\omega }}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{d}}{\mathit{d\omega}}\mathrm{\left[\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}} \right ]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\frac{\mathit{d}}{\mathit{d\omega}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\frac{\mathit{d}}{\mathit{d\omega}}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}\:\mathrm{=}\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathrm{\left ( -\mathit{jn}\right )}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\frac{\mathit{d}}{\mathit{d\omega}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:-\mathit{j}\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{n}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}\:\mathrm{=}\:-\mathit{j}\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{n}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{n}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{j}\frac{\mathit{d}}{\mathit{d\omega }}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$$
数值示例
使用 DTFT 的频域微分性质，求以下序列的 DTFT：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{n}\mathrm{\left( \frac{1}{3}\right)}^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{u}\right)}}$$
解决方案
给定的离散时间序列为：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{n}\mathrm{\left( \frac{1}{3}\right)}^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{u}\right)}}$$
对等式两边进行 DTFT 变换，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{n}\mathrm{\left( \frac{1}{3}\right)}^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{u}\right)} \right]}}$$
现在，使用 DTFT 的频域微分性质 $\mathrm{\left [ i.e,\:\mathit{n}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{j}\frac{\mathit{d}}{\mathit{d\omega }}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)} \right ]}$，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{n}\mathrm{\left( \frac{1}{3}\right)}^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{j}\frac{\mathit{d}}{\mathit{d\omega }}\mathrm{\left\{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathrm{\left( \frac{1}{3}\right)}^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right]} \right\}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{n}\mathrm{\left( \frac{1}{3}\right)}^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{j}\frac{\mathit{d}}{\mathit{d\omega }}\mathrm{\left[\frac{1}{1-\mathrm{\left ( \frac{1}{3} \right)}\mathit{e^{-j\omega}}}\right ]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{n}\mathrm{\left( \frac{1}{3}\right)}^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{j}\mathrm{\left[ \frac{\mathrm{\left\{ 1-\mathrm{\left(\frac{1}{3}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega}}}\right\}}\mathrm{\left( 0 \right)}-\mathrm{\left( 1\right)}\mathrm{\left\{ \mathrm{\left[-\mathrm{\left ( \frac{1}{3}\right)}\mathit{e}^{-\mathit{j\omega}}\mathrm{\left ( -\mathit{j}\right)}\right ]}\right\}}}{\mathrm{\left\{1-\mathrm{\left ( \frac{1}{3} \right)}\mathit{e^{-j\omega }} \right\}}^{\mathrm{2}}} \right ]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{n}\mathrm{\left( \frac{1}{3}\right)}^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{j}\mathrm{\left[\frac{-\mathit{j\mathrm{\left( \frac{1}{3}\right)}\mathit{e^{-j\omega }}}}{\mathrm{\left\{1-\mathrm{\left( \frac{1}{3}\right)} \mathit{e^{-j\omega}}\right\}}^{\mathrm{2}}}\right ]}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{n}\mathrm{\left( \frac{1}{3}\right)}^{\mathit{n}}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right]}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{\left ( \frac{1}{3} \right )}\mathit{e^{-j\omega}}}{\mathrm{\left[1-\mathrm{\left ( \frac{1}{3}\right)} \mathit{e^{-j\omega }}\right ]}^{\mathrm{2}}}}$$
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