数据结构
网络
关系数据库管理系统 (RDBMS)
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C语言编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理学
化学
生物学
数学
英语
经济学
心理学
社会学
服装设计
法学信号与系统 – 傅里叶变换的时间反转特性
对于连续时间函数𝑥(𝑡)，其傅里叶变换定义为：
$$\mathrm{X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}\: dt}$$
傅里叶变换的时间反转特性
说明 – 傅里叶变换的时间反转特性指出，如果一个函数𝑥(𝑡)在时域中反转，则其频域中的频谱也会反转，即如果
$$\mathrm{x\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X\left ( \omega \right )}$$
那么，根据傅里叶变换的时间反转特性，
$$\mathrm{x\left ( -t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X\left ( -\omega \right )}$$
证明
根据傅里叶变换的定义，我们有：
$$\mathrm{F\left [ x\left ( t \right ) \right ]= X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}\: dt}$$
$$\mathrm{\therefore F\left [ x\left ( -t \right ) \right ]=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( -t \right )e^{-j\omega t}\: dt}$$
在上式右边用(−𝑡)替换𝑡，我们得到：
$$\mathrm{F\left [ x\left ( -t \right ) \right ]=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{j\omega t}\: dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow F\left [ x\left ( -t \right ) \right ]=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\left ( -\omega \right ) t}\: dt=X\left ( -\omega \right )}$$
$$\mathrm{\therefore F\left [ x\left ( -t \right ) \right ]=X\left ( -\omega \right )}$$
或者，它可以表示为：
$$\mathrm{x\left ( -t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X\left ( -\omega \right )}$$
数值示例
利用傅里叶变换的时间反转特性，求函数[𝑢(−𝑡)]的傅里叶变换。
解答
𝑥(𝑡) = 𝑢(−𝑡)
单位阶跃函数的傅里叶变换定义为：
$$\mathrm{F\left [ u\left (t \right ) \right ]=\pi \delta \left ( \omega \right )+\frac{1}{j\omega }}$$
现在，利用傅里叶变换的时间反转特性$\mathrm{\left [ i.e.\: \: \: x\left ( -t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X\left ( -\omega \right ) \right ]}$，我们得到：
$$\mathrm{F\left [ u\left (-t \right ) \right ]=\left \{ F\left [ u\left ( t \right ) \right ] \right \}_{\omega =\left ( -\omega \right )}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow F\left [ u\left (-t \right ) \right ]= \left ( \pi \delta \left ( \omega \right )+\frac{1}{j\omega } \right )_{\omega =\left ( -\omega \right )}=\pi \delta \left ( -\omega \right )-\frac{1}{j\omega }}$$
$$\mathrm{\therefore F\left [ u\left (-t \right ) \right ]= \pi \delta \left ( \omega \right )-\frac{1}{j\omega }}$$
或者，
$$\mathrm{u\left ( -t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}\left [ \pi \delta \left ( \omega \right )-\frac{1}{j\omega } \right ]}$$
浏览量：9000+
