信号与系统 – 傅里叶变换的对偶性质

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傅里叶变换

对于连续时间函数 x(t)，x(t) 的傅里叶变换可以定义为

$$\mathrm{X(\omega)= \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$

连续时间傅里叶变换的对偶性质

陈述 – 如果一个函数 x(t) 具有傅里叶变换 X(ω)，并且我们在时域中形成一个具有傅里叶变换函数形式的新函数 X(t)，那么它将具有一个傅里叶变换 X(ω)，其函数形式为原始时间函数，但它是频率的函数。

在数学上，CTFT 的对偶性质指出，如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$

那么，根据对偶性质，

$$\mathrm{X(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi x(-\omega)}$$

证明

根据傅里叶逆变换的定义，我们有

$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega }$$

$$\mathrm{\Rightarrow 2\pi.x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega}$$

通过在上述方程中替换 𝑡 = (−𝑡)，我们得到，

$$\mathrm{\Rightarrow 2\pi.x(-t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{-j\omega t}d\omega}$$

现在，交换 t 和 ω，我们得到，

$$\mathrm{\Rightarrow 2\pi.x(-\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}X(t)e^{-j\omega t}dt=F[X(t)]}$$

所以，

$$\mathrm{F[X(t)]=2\pi.x(-\omega)}$$

或者，它也可以表示为

$$\mathrm{X(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi.x(-\omega)}$$

此外，对于偶函数，

$$\mathrm{x(-\omega)=x(\omega)}$$

因此，傅里叶变换对偶性质对于偶函数指出

$$\mathrm{X(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi x(\omega)}$$

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数值示例

使用傅里叶变换的对偶性质，求以下信号的傅里叶变换：

$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{a^2+t^2}}$$

解决方案

给定

$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{a^2+t^2}}$$

双边指数函数的傅里叶变换定义为

$$\mathrm{F[e^{-a|t|}]=\frac{2a}{a^2+\omega^2}}$$

$$\mathrm{现在，通过使用对偶性质 [即，X(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi.x(-\omega)]，我们有，}$$

$$\mathrm{F[\frac{2a}{a^2+t^2}]=2\pi e^{-a|-\omega|}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow F[\frac{1}{a^2+t^2}]=\frac{1}{2a}.2\pi e^{-a|\omega|}}$$

因此，给定信号的傅里叶变换为，

$$\mathrm{F[x(t)]=F[\frac{1}{a^2+t^2}]=\frac{\pi}{a}.e^{-a|\omega|}}$$