数据结构
网络
RDBMS
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C 语言编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理学
化学
生物学
数学
英语
经济学
心理学
社会学
服装设计
法律信号与系统 – 傅里叶变换的对偶性质
傅里叶变换
对于连续时间函数 x(t)，x(t) 的傅里叶变换可以定义为
$$\mathrm{X(\omega)= \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
连续时间傅里叶变换的对偶性质
陈述 – 如果一个函数 x(t) 具有傅里叶变换 X(ω)，并且我们在时域中形成一个具有傅里叶变换函数形式的新函数 X(t)，那么它将具有一个傅里叶变换 X(ω)，其函数形式为原始时间函数，但它是频率的函数。
在数学上，CTFT 的对偶性质指出，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$
那么，根据对偶性质，
$$\mathrm{X(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi x(-\omega)}$$
证明
根据傅里叶逆变换的定义，我们有
$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega }$$
$$\mathrm{\Rightarrow 2\pi.x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega}$$
通过在上述方程中替换 𝑡 = (−𝑡)，我们得到，
$$\mathrm{\Rightarrow 2\pi.x(-t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{-j\omega t}d\omega}$$
现在，交换 t 和 ω，我们得到，
$$\mathrm{\Rightarrow 2\pi.x(-\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}X(t)e^{-j\omega t}dt=F[X(t)]}$$
所以，
$$\mathrm{F[X(t)]=2\pi.x(-\omega)}$$
或者，它也可以表示为
$$\mathrm{X(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi.x(-\omega)}$$
此外，对于偶函数，
$$\mathrm{x(-\omega)=x(\omega)}$$
因此，傅里叶变换对偶性质对于偶函数指出
$$\mathrm{X(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi x(\omega)}$$
数值示例
使用傅里叶变换的对偶性质，求以下信号的傅里叶变换：
$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{a^2+t^2}}$$
解决方案
给定
$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{a^2+t^2}}$$
双边指数函数的傅里叶变换定义为
$$\mathrm{F[e^{-a|t|}]=\frac{2a}{a^2+\omega^2}}$$
$$\mathrm{现在，通过使用对偶性质 [即，X(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi.x(-\omega)]，我们有，}$$
$$\mathrm{F[\frac{2a}{a^2+t^2}]=2\pi e^{-a|-\omega|}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow F[\frac{1}{a^2+t^2}]=\frac{1}{2a}.2\pi e^{-a|\omega|}}$$
因此，给定信号的傅里叶变换为，
$$\mathrm{F[x(t)]=F[\frac{1}{a^2+t^2}]=\frac{\pi}{a}.e^{-a|\omega|}}$$
17K+ 浏览量
