信号与系统 – 连续时间傅里叶级数的性质

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周期信号的傅里叶级数表示具有各种重要的性质，这些性质在将信号从一种形式转换为另一种形式的过程中非常有用。

考虑两个周期为T的周期信号𝑥₁(𝑡)和𝑥₂(𝑡)，其傅里叶级数系数分别为𝐶_𝑛和𝐷_𝑛。基于此假设，让我们继续检查连续时间傅里叶级数的各种性质。

线性性质

连续时间傅里叶级数的线性性质指出，如果

$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}\: and\:x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$

那么

$$\mathrm{Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}AC_{n}+BD_{n}}$$

时移性质

傅里叶级数的时移性质指出，如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$

那么

$$\mathrm{x(t-t_{0})\overset{FS}{\leftrightarrow}e^{-jn\omega_{0}t_{0}}C_{n}}$$

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时间尺度变换性质

傅里叶级数的时移性质指出，如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$

那么

$$\mathrm{x(at)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}\:with\:\omega_{0}\rightarrow a\omega_{0}}$$

时间反转性质

傅里叶级数的时间反转性质指出，如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$

那么

$$\mathrm{x(-t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{-n}}$$

时间微分性质

连续时间傅里叶级数的时间微分性质指出，如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$

那么

$$\mathrm{\frac{dx(t)}{dt}\overset{FS}{\leftrightarrow}jn\omega_{0}t_{0}C_{n}}$$

时间积分性质

连续时间傅里叶级数的时间积分性质指出，如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$

那么

$$\mathrm{\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau\overset{FS}{\leftrightarrow}\frac{C_{n}}{jn\omega_{0}};\:C_{0}=0}$$

卷积性质

连续时间傅里叶级数的卷积定理或卷积性质指出：“时域中两个函数的卷积等效于频域中其傅里叶系数的乘积。” 因此，如果：

$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}\:\:and\:\:x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$

那么

$$\mathrm{x_{1}(t)*x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}TC_{n}D_{n}}$$

乘法或调制性质

连续时间傅里叶级数的乘法或调制性质指出，如果

$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}\:\:and\:\:x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$

那么

$$\mathrm{x_{1}(t).x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}\sum_{k=-\infty}^{\infty}C_{k}D_{n-k}}$$

共轭性质

连续时间傅里叶级数的共轭性质指出，如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$

那么

$$\mathrm{x^*(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{-n}^{*}\:(for\:example\:x(t))}$$

共轭对称性

根据共轭对称性，如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$

那么

$$\mathrm{C_{-n}=C_{n}^{*}\:(for\:real\:x(t))}$$

帕塞瓦尔定理

傅里叶级数的帕塞瓦尔定理指出，如果

$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}\:\:and\:\:x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}\:\:\:\:[for\:complex\:x_{1}(t)\& \: x_{2}(t)]}$$

那么

$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)x_{2}^{*}(t)(dt)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_nD_{n}^{*}\:\:\:\:[for\:complex\:x_{1}(t)\& \: x_{2}(t)]}$$

并且，如果

$$\mathrm{x_{1}(t)=x_{2}(t)=x(t)}$$

那么，*帕塞瓦尔恒等式*指出：

$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}|x(t)|^2dt=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|C_{n}|^2}$$