信号与系统 – 线性时不变 (LTI) 系统的特性

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线性时不变系统

如果一个系统满足叠加原理和齐次性原理，并且其输入/输出特性不随时间变化，则称为线性时不变 (LTI) 系统。

LTI 系统的特性

连续时间 LTI 系统可以用其单位冲激响应来表示。它采用卷积积分的形式。因此，连续时间卷积所遵循的性质也适用于 LTI 系统。LTI 系统的冲激响应非常重要，因为它可以完全确定 LTI 系统的特性。

在本文中，我们将重点介绍一些 LTI 系统（或连续时间卷积）的重要特性。

LTI 系统的交换律

连续时间中的卷积是交换运算，即：

$$\mathrm{x(t)*h(t)=h(t)*x(t)=\int_{-\infty }^{\infty}x(\tau)\:h(t-\tau )d\tau=\int_{-\infty }^{\infty}h(\tau)\:x(t-\tau )d\tau}$$

因此，根据 LTI 系统的交换律，LTI 系统在输入为 x(t) 和单位冲激响应为 h(t) 时的输出与 LTI 系统在输入为 h(t) 和冲激响应为 x(t) 时的输出相同。

LTI 系统的分配律

连续时间中的卷积对加法满足分配律，即：

$$\mathrm{x(t)*[h_{1}(t)+h_{2}(t)]=x(t)*h_{1}(t)+x(t)*h_{2}(t)}$$

LTI 系统的分配律在系统互连方面具有有用的解释。因此，根据此性质，两个具有冲激响应 $h_{1}(t)$ 和 $h_{2}(t)$ 的 LTI 系统并联连接可以替换为一个具有冲激响应 [$h_{1}(t)+h_{2}(t)] 的系统。此外，连续时间卷积的分配律可以用来将复杂的卷积分解成几个更简单的卷积。

LTI 系统的结合律

连续时间中的卷积是结合运算，即：

$$\mathrm{x(t)*[h_{1}(t)*h_{2}(t)]=[x(t)*h_{1}(t)]*h_{2}(t)}$$

因此，根据结合律，信号可以按任何顺序进行卷积。

LTI 系统的因果性

因果系统是非超前的，在输入应用之前不会产生输出。因此，因果系统的输出仅取决于输入的当前值和过去值，而不取决于未来的输入。

因此，对于因果 LTI 系统，我们得到：

$$\mathrm{h(t)=0;\:for\:t<0}$$

因此：

• 因果 LTI 系统对非因果输入的输出由下式给出：

$$\mathrm{y(t)=\int_{0}^{\infty }h(\tau )\:x(t-\tau)d\tau=\int_{-\infty}^{t}x(\tau)\:h(t-\tau)d\tau}$$

• 因果 LTI 系统对因果输入的输出由下式给出：

$$\mathrm{y(t)=\int_{0}^{t}h(\tau )\:x(t-\tau)d\tau=\int_{0}^{t}x(\tau )\: h(t-\tau)d\tau}$$

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LTI 系统的稳定性

如果对于给定的系统，每个有界输入都产生有界输出，则该系统是稳定的。LTI 系统的稳定性可以通过其冲激响应来确定。对于连续时间 LTI 系统要稳定，其冲激响应 h(t) 必须是绝对可积的，即：

$$\mathrm{\int_{-\infty }^{\infty}\left | h(\tau )\right |d\tau<\infty}$$

LTI 系统的可逆性

具有冲激响应的连续 LTI 系统称为可逆的，如果存在一个具有冲激响应 ${h}'(t)$ 的逆系统，当与原始系统串联连接时，产生的输出等于第一个系统的输入，即：

$$\mathrm{h(t)*{h}'(t)=\delta(t)}$$

有记忆和无记忆的 LTI 系统

如果 LTI 系统在任何时间的输出仅取决于该时间输入的值，则称为静态或无记忆系统。因此，如果连续时间 LTI 系统满足以下条件，则称为无记忆系统：

$$\mathrm{h(t)=0;\:for\:t eq0}$$

这种无记忆 LTI 系统表示为：

$$\mathrm{y(t)=k\:x(t)}$$

如果系统满足以下条件，则表示该系统具有记忆：

$$\mathrm{h(t) eq0;\:for\:t eq0}$$

有记忆系统也称为动态系统。

LTI 系统的单位阶跃响应

当将单位阶跃输入 u(t) 应用于 LTI 系统时，相应的输出称为 LTI 系统的单位阶跃响应 s(t)。

LTI 系统的单位阶跃响应可以通过将单位阶跃输入 u(t) 与系统的冲激响应 h(t) 进行卷积来获得，即：

$$\mathrm{s(t)=u(t)*h(t)=h(t)*u(t)}$$

$$\mathrm{\Rightarrow s(t)=\int_{-\infty }^{t}h(\tau)d\tau}$$