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法律研究信号与系统：时变系统和时不变系统
系统的特性使得系统行为独立于时间，这被称为时不变性。时不变性意味着系统行为不依赖于输入施加到系统的时间。
时不变系统
如果系统的输入和输出特性不随时间变化，则该系统称为时不变系统。
连续时间情况
连续时间系统的时不变性可以通过以下方式进行测试：
假设 x(t) 是输入，x(t-t0) 是延迟 t0 个单位的输入。那么，系统对于输入 x(t) 的输出为
𝑥(𝑡) → 𝑦(𝑡) = 𝑇[𝑥(𝑡)]
对于输入 x(t-t0) 的输出为
𝑥(𝑡 − 𝑡0) → 𝑦(𝑡, 𝑡0) = 𝑇[𝑥(𝑡 − 𝑡0)] = 𝑦(𝑡)|𝑥(𝑡)=𝑥(𝑡−𝑡0)
此外，延迟 t0 个单位的输出为
𝑦(𝑡 − 𝑡0) = 𝑦(𝑡)|𝑡=(𝑡−𝑡0)
如果
𝑦(𝑡, 𝑡0) = 𝑦(𝑡 − 𝑡0)
也就是说，当系统的延迟输出等于延迟输入引起的输出对于所有可能的 t 值都相等时，则该系统为时不变系统。
如果连续时间系统由微分方程描述，并且如果微分方程的系数为常数，则该系统称为时不变系统。例如，
$$\mathrm{5\frac{\mathrm{d} ^{2}y(t)}{\mathrm{d} t^{2}}+4\frac{\mathrm{dy}(t) }{\mathrm{d} t}+3y(t)=2x(t)}$$
由上述微分方程表示的系统是时不变系统，因为其所有系数都是常数。
离散时间情况
在离散时间情况下，时不变性被称为移不变性。
给定系统是否为时不变可以通过以下方式进行测试：
考虑 x(n) 是输入，x(n-k) 是给定离散时间系统的延迟输入。那么，对应于 x(n) 的系统输出由下式给出
𝑥(𝑛) → 𝑦(𝑛) = 𝑇[𝑥(𝑛)]
而对于延迟输入的输出为
𝑥(𝑛 − 𝑘) → 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑇[𝑥(𝑛 − 𝑘)] = 𝑦(𝑛)|𝑥(𝑛)=𝑥(𝑛−𝑘)
此外，系统输出延迟 k 个单位为
𝑦(𝑛 − 𝑘) = 𝑦(𝑛)|𝑛=(𝑛−𝑘)
如果
𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘)
也就是说，当系统的延迟输出等于延迟输入引起的输出对于所有可能的 k 值都相等时，则该系统为时不变系统。
如果离散时间系统由差分方程描述，并且如果差分方程的系数为常数，则该系统将为时不变系统。例如，
𝑦(𝑛) + 5𝑦(𝑛 − 2) + 4𝑦(𝑛 − 1) = 5𝑥(𝑛)
由上述差分方程描述的系统是时不变系统，因为所有系数都是常数。
时变系统
输入和输出特性随时间变化的系统称为时变系统。
连续时间情况
对于连续时间时变系统，系统的延迟输出不等于延迟输入引起的输出，即
𝑦(𝑡, 𝑡0) ≠ 𝑦(𝑡 − 𝑡0)
如果连续时间系统由微分方程描述，并且如果其系数是时间的函数，则该系统为时变系统。例如，
$$\mathrm{5t^{2}\frac{\mathrm{d} ^{2}y(t)}{\mathrm{d} t^{2}}+4t\frac{\mathrm{dy}(t) }{\mathrm{d} t}+3y(t)=2x(t)}$$
由该微分方程描述的系统是时变系统，因为其所有系数都不是常数或时间的函数。
离散时间情况
对于离散时间时变系统，系统的输出不等于延迟输入引起的输出，即
𝑦(𝑛, 𝑘) ≠ 𝑦(𝑛 − 𝑘)
如果使用差分方程来描述离散时间系统，则如果其系数是时间的函数，则该系统将为时变系统。例如，
𝑦(𝑛) + 5𝑛𝑦(𝑛 − 2) + 4𝑛2𝑦(𝑛 − 1) = 𝑥(𝑛) + 𝑥(𝑛 − 2)
此系统是时变系统，因为某些系数是时间的函数。
数值示例
确定以下系统是时不变还是时变：
𝑦(𝑡) = 2𝑡2 𝑥(𝑡)
𝑦(𝑡) = 3𝑒3𝑥(𝑡)
解 (1)
给定系统为：
𝑦(𝑡) = 2𝑡2 𝑥(𝑡)
这里：
𝑦(𝑡) = 𝑇[𝑥(𝑡)] = 2𝑡2 𝑥(𝑡)
系统对于延迟 𝑡0 秒的输入的输出为：
𝑦(𝑡, 𝑡0) = 𝑇[𝑥(𝑡 − 𝑡0)] = 𝑦(𝑡)|𝑥(𝑡)=𝑥(𝑡−𝑡0) = 2𝑡2 𝑥(𝑡 − 𝑡0)
而系统延迟 𝑡0 秒的输出为：
𝑦(𝑡 − 𝑡0) = 𝑦(𝑡)|𝑡=(𝑡−𝑡0) = 2(𝑡 − 𝑡0)2 𝑥(𝑡 − 𝑡0)
因此：
𝑦(𝑡, 𝑡0) ≠ 𝑦(𝑡 − 𝑡0)
因此，给定系统是时变系统。
解 (2)
给定系统为：
𝑦(𝑡) = 3𝑒3𝑥(𝑡)
这里：
𝑦(𝑡) = 𝑇[𝑥(𝑡)] = 3𝑒3𝑥(𝑡)
系统对于延迟 𝑡0 秒的输入的输出为：
𝑦(𝑡, 𝑡0) = 𝑇[𝑥(𝑡 − 𝑡0)] = 𝑦(𝑡)|𝑥(𝑡)=𝑥(𝑡−𝑡0) = 3𝑒3𝑥(𝑡−𝑡0)
系统延迟 𝑡0 秒的输出为：
𝑦(𝑡- 𝑡0) = 𝑦(𝑡)|t=(𝑡−𝑡0)= 3𝑒3𝑥(𝑡−𝑡0)
因此，对于给定系统：
𝑦(𝑡, 𝑡0) = 𝑦(𝑡 − 𝑡0)
因此，该系统是时不变系统。
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