数据结构
网络
关系数据库管理系统 (RDBMS)
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C语言编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理学
化学
生物学
数学
英语
经济学
心理学
社会学
服装学
法学信号与系统——线性时不变 (LTI) 系统的传递函数
连续时间 LTI 系统的传递函数可以使用拉普拉斯变换或傅里叶变换定义。此外，LTI 系统的传递函数只能在零初始条件下定义。连续时间 LTI 系统的框图如下所示。
频域中 LTI 系统的传递函数
LTI 系统的传递函数 H(ω) 可以通过以下几种方式定义：
LTI 系统的传递函数定义为输出信号的傅里叶变换与输入信号的傅里叶变换之比，前提是初始条件为零。
或者，当忽略初始条件时，传递函数定义为频域中输出与输入之比。
或者，LTI 系统的传递函数是其冲激响应的傅里叶变换。
数学上，频域中 LTI 系统的传递函数定义为：
$$\mathrm{\mathit{H\left ( \omega \right )\mathrm{=}\frac{Y\left ( \omega \right )}{X\left ( \omega \right )} }}$$
传递函数 H(ω) 是一个复数，因此它既有幅度也有相位。
$$\mathrm{\mathit{H\left ( \omega \right )\mathrm{=}\left | H\left ( \omega \right ) \right |e^{j\theta \left ( \omega \right )} }}$$
频域中的传递函数 H(ω) 也称为 *LTI 系统的频率响应*。LTI 系统的频率响应具有幅度响应和相位响应，即：
$$\mathrm{LTI 系统的幅度响应 \mathrm{=}\mathit{\left | H\left ( \omega \right ) \right | }}$$
$$\mathrm{LTI 系统的相位响应 \mathrm{=}\mathit{\theta \left ( \omega \right )\mathrm{=}\angle H\left ( \omega \right ) }}$$
由于输出的频谱为：
$$\mathrm{\mathit{Y \left ( \omega \right )\mathrm{=} H\left ( \omega \right )\cdot X\left ( \omega \right ) }}$$
因此：
$$\mathrm{输出的幅度, \mathit{\left | Y \left ( \omega \right ) \right |\mathrm{=} \left | H\left ( \omega \right ) \right |\cdot \left | X\left ( \omega \right ) \right | }}$$
$$\mathrm{输出的相位, \mathit{\angle Y \left ( \omega \right )\mathrm{=} \angle H\left ( \omega \right )\mathrm{+} \angle X\left ( \omega \right ) }}$$
此外，LTI 系统的传递函数具有共轭对称性，即：
$$\mathrm{\mathit{H\left ( -\omega \right )\mathrm{=}H^{*}\left ( \omega \right )}}$$
$$\mathrm{幅度,\mathit{\left | H\left ( -\omega \right ) \right |\mathrm{=}\left | H\left ( \omega \right ) \right |}}$$
并且
$$\mathrm{相位,\mathit{\angle H\left ( -\omega \right )\mathrm{=}-\angle H\left ( \omega \right )}}$$
LTI 系统的冲激响应 h(t) 是其传递函数 H(ω) 的逆傅里叶变换，即：
$$\mathrm{\mathit{h\left ( t \right )\mathrm{=}F^{-1}\left [ H\left ( \omega \right ) \right ]}}$$
s 域中 LTI 系统的传递函数
s 域中 LTI 系统的传递函数 H(s) 可以通过以下几种方式定义：
当初始条件为零时，LTI 系统的传递函数可以定义为输出信号的拉普拉斯变换与输入信号的拉普拉斯变换之比。
或者，当忽略初始条件时，传递函数定义为 s 域中输出与输入之比。
或者，LTI 系统的传递函数是其冲激响应的拉普拉斯变换。
数学上，在拉普拉斯域或 s 域中，LTI 系统的传递函数定义为：
$$\mathrm{\mathit{H\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{Y\left ( s \right )}{X\left ( s \right )}}}$$
并且，s 域中 LTI 系统的冲激响应 h(t) 是传递函数 H(s) 的逆拉普拉斯变换，即：
$$\mathrm{\mathit{h\left ( t \right )\mathrm{=}L^{-1}\left [ H\left ( s \right ) \right ]}}$$
注意 – 一旦知道了 s 域中 LTI 系统的传递函数 H(s)，就可以通过在 H(s) 中用 jω 代替 s 来确定频域中的传递函数 H(ω)，即：
$$\mathrm{\mathit{H\left ( \omega \right )\mathrm{=}H\left ( s \right )|_{s\mathrm{=}j\omega } }}$$
9K+ 次浏览
