信号与系统：稳定与不稳定系统

稳定系统或BIBO稳定系统

当且仅当每个有界输入产生有界输出时，系统被称为BIBO**(有界输入有界输出)稳定系统**或简称为**稳定系统**。稳定系统的输出不会发生不合理的改变。

系统的稳定性表明了系统的实用性。系统的稳定性可以通过系统的冲激响应来确定。系统的冲激响应只不过是系统对单位冲激输入的输出。

如果系统的冲激响应对于连续时间系统是绝对可积的，或者对于离散时间系统是绝对可和的，则该系统是稳定系统。

假设输入信号x(t)是有界信号，即：

|𝑥(𝑡)| < 𝐾_𝑥 < ∞ for − ∞ < 𝑡 < ∞

其中，𝐾_𝑥 是一个正实数。然后，如果

|𝑦(𝑡)| < 𝐾_𝑦 < ∞

也就是说，系统的输出y(t)也是有界的，则该系统称为**BIBO稳定系统**。

不稳定系统

如果一个系统不满足BIBO稳定性条件，则该系统被称为不稳定系统。因此，对于有界输入，不稳定系统不一定产生有界输出。因此，我们可以说，即使一个有界输入产生了一个无界输出，系统也是不稳定的。

解题示例

确定给定系统是稳定还是不稳定：

• 𝑦(𝑡) = 𝑒^𝑥(𝑡) for |𝑥(𝑡)| ≤ 6

• $\mathrm{h(t)=\frac{1}{RC}e^{\frac{-t}{RC}}u(t)}$

• 𝑦(𝑡) = (𝑡 + 7)𝑢(𝑡)

• ℎ(𝑡) = 𝑒^3𝑡𝑢(𝑡)

解答

• 给定系统的输出为：

  𝑦(𝑡) = 𝑒^𝑥(𝑡) for |𝑥(𝑡)| ≤ 6

  给定系统的输入是有界的，即：

  |𝑥(𝑡)| ≤ 6

  因此，为了使系统稳定，输出必须是有界的。

  对于给定系统，输出y(t)变为：

  𝑒⁻⁶ ≤ 𝑦(𝑡) ≤ 𝑒⁶

  因此，输出y(t)也是有界的。因此，该系统是稳定的。

• 给定系统为

  $$\mathrm{h(t)=\frac{1}{RC}e^{\frac{-t}{RC}}u(t)}$$

  对于系统的稳定性，

  $$\mathrm{\int_{-\infty }^{\infty}\: \left | h(t) \right |dt< \infty }$$

  对于给定系统，

  $$\mathrm{\int_{-\infty }^{\infty}\: \left | h(t) \right |dt=\int_{-\infty }^{\infty}\:\left | \frac{1}{RC}e^{\frac{-t}{RC}}u(t) \right |dt=\int_{0}^{\infty}\:\left | \frac{1}{RC}e^{\frac{-t}{RC}} \right |dt }=1< \infty$$

  因此，给定系统是一个稳定系统。

• 给定系统为

  𝑦(𝑡) = (𝑡 + 7)𝑢(𝑡)

  ⟹ 𝑦(𝑡) = (𝑡 + 7); 𝑡 ≥ 0

  因此，

  对于 𝑡 → ∞; 𝑦(𝑡) → ∞

  因此，系统的输出无限增大。因此，给定系统是不稳定系统。

• 给定系统的输出为

  ℎ(𝑡) = 𝑒^3𝑡𝑢(𝑡)

  对于系统的稳定性，

  $$\mathrm{\int_{-\infty }^{\infty}\: \left | h(t) \right |dt=\int_{-\infty }^{\infty}\left | e^{3t}u(t) \right |dt=\int_{0 }^{\infty}\left | e^{3t} \right |dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow \int_{-\infty }^{\infty}\: \left | h(t) \right |dt=\left [ \frac{e^{3t}}{3} \right ]_{0}^{\infty }=\left [ \frac{e^{\infty }}{3}- \frac{e^{0}}{3}\right ]=\infty }$$

  给定系统的冲激响应不是绝对可积的。因此，给定系统是不稳定系统。

Manish Kumar Saini

更新于： 2021年11月11日

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