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法学信号与系统 – 线性时不变 (LTI) 系统的响应
线性时不变系统
一个满足叠加原理和齐次性原理，并且输入/输出特性不随时间变化的系统被称为线性时不变 (LTI) 系统。
LTI 系统的冲激响应
当冲激信号作用于线性系统时，系统的响应称为冲激响应。系统的冲激响应对于理解系统的行为至关重要。
因此，如果
$$\mathrm{\mathit{\mathrm{输入}, x\left(t\right)=\delta\left(t\right)}}$$
那么，
$$\mathrm{\mathit{\mathrm{输出}, y\left(t\right)=h\left(t\right)}}$$
由于冲激函数的拉普拉斯变换和傅里叶变换分别为：
$$\mathrm{\mathit{L\left [\delta\left(t\right) \right ]\mathrm{=}\mathrm{1}\:\:\mathrm{and} \:\:F\left [\delta\left(t\right) \right ]\mathrm{=}\mathrm{1}}}$$
因此，一旦已知 LTI 系统在频域中的传递函数 $\mathit{H\left(\omega\right)}$，则可以通过对 $\mathit{H\left(\omega\right)}$ 进行傅里叶逆变换来确定系统的冲激响应，即：
$$\mathrm{\mathit{h\left(t\right)=F^{-\mathrm{1}}\left [ H\left(\omega\right) \right ]}}$$
类似地，一旦已知 LTI 系统在 s 域中的传递函数 $\mathit{ H\left(s\right)}$，则可以通过对 $\mathit{ H\left(s\right)}$ 进行拉普拉斯逆变换来确定系统的冲激响应，即：
$$\mathrm{\mathit{h\left(t\right)=L^{-\mathrm{1}}\left [ H\left(s\right) \right ]}}$$
一旦已知线性系统的冲激响应 $\mathit{ h\left(t\right)}$，则可以通过将输入与系统的冲激响应进行卷积来获得任何给定输入信号 $\mathit{ x\left(t\right)}$ 的线性系统响应 $\mathit{ y\left(t\right)}$，即：
$$\mathrm{\mathit{ y\left(t\right)=h\left(t\right)*x\left(t\right)=x\left(t\right)*h\left(t\right)}}$$
LTI 系统的阶跃响应
卷积积分可用于获得连续时间 LTI 系统的阶跃响应。如果单位阶跃信号 $\mathit{u\left(t\right)}$ 是具有冲激响应 $\mathit{h\left(t\right)}$ 的系统的输入信号，则系统的阶跃响应由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{s\left(t\right)\mathrm{=}h\left(t\right)*u\left(t\right)}}$$
如果给定系统是非因果的，则阶跃响应由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{s\left(t\right)\mathrm{=}\int_{-\infty }^{t}h\left(\tau\right)u\left(t-\tau\right)d\tau =\int_{-\infty }^{t}h\left(\tau\right)d\tau }}$$
并且，当给定系统是因果的时，阶跃响应为：
$$\mathrm{\mathit{s\left(t\right)=\int_{\mathrm{0}}^{t}h\left(\tau\right)d\tau} }$$
因此，LTI 系统的阶跃响应是系统冲激响应的累积积分。
现在，当因果和非因果信号作用于因果和非因果系统时，我们得到以下输出：
当非因果信号作用于非因果系统时，则：
$$\mathrm{\mathit{y\left(t\right)\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }h\left(\tau\right)x\left(t-\tau\right)d\tau \mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x\left(\tau\right)h\left(t-\tau\right)d\tau }}$$
当因果信号作用于非因果系统时，则：
$$\mathrm{\mathit{y\left(t\right)\mathrm{=}\int_{-\infty }^{t }h\left(\tau\right)x\left(t-\tau\right)d\tau \mathrm{=}\int_{\mathrm{0} }^{\infty }x\left(\tau\right)h\left(t-\tau\right)d\tau }}$$
当非因果信号作用于因果系统时，则：
$$\mathrm{\mathit{y\left(t\right)\mathrm{=}\int_{\mathrm{0} }^{\infty }h\left(\tau\right)x\left(t-\tau\right)d\tau \mathrm{=}\int_{-\infty }^{t}x\left(\tau\right)h\left(t-\tau\right)d\tau }}$$
当因果信号作用于因果系统时，则：
$$\mathrm{\mathit{y\left(t\right)\mathrm{=}\int_{\mathrm{0} }^{t }h\left(\tau\right)x\left(t-\tau\right)d\tau \mathrm{=}\int_{\mathrm{0} }^{t}x\left(\tau\right)h\left(t-\tau\right)d\tau }}$$
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