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法律研究信号与系统 – 因果系统和非因果系统
因果系统
一个系统的输出或响应在任何时刻 (t) 只取决于输入的当前值和过去值，而不取决于输入的未来值，则称为**因果系统**。对于因果系统，输出或响应不会在输入信号施加之前开始。因此，因果系统也称为**非预期系统**。
因果系统是实时系统，可以物理实现。对于因果系统，系统的冲激响应在负时间 (即 t < 0) 为零，因为冲激信号 δ(t) 或 δ(n) 只存在于 t = 0 或 n = 0 时，即：
ℎ(𝑡) = 0; 𝑡 < 0 … 对于连续时间系统
ℎ(𝑛) = 0; 𝑛 < 0 … 对于离散时间系统
电阻器是连续时间因果系统的例子。下面给出一些因果系统的例子：
𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡 − 3) + 3𝑥(𝑡)
𝑦(𝑡) = 𝑡𝑥(𝑡)
𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛 − 1) + 𝑥(𝑛)
𝑦(𝑛) = 𝑛𝑥(𝑛)
其中，y(t) 或 y(n) 和 x(t) 或 x(n) 分别是系统的输出和输入。
非因果系统
一个系统的输出或响应在任何时刻 (t) 取决于输入的未来值，则称为**非因果系统**。非因果系统可以在输入给出之前产生输出，因此它们也称为**预期系统**。
非因果系统在现实中不存在。此外，这些系统在物理上不可实现。图像处理系统是非因果系统的例子。
下面给出一些非因果系统的例子：
𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡 + 3) + 2𝑥(𝑡)
𝑦(𝑡) = 𝑥2(𝑡) + 𝑡𝑥(𝑡 + 3)
𝑦(𝑛) = 𝑥(𝑛) + 3𝑥(3𝑛)
𝑦(𝑛) = 𝑥2(𝑛) + 2𝑥(𝑛 + 1)
例题
确定下列系统是因果系统还是非因果系统：
- 𝑦(𝑡) = 𝑥2(𝑡) + 𝑥(𝑡 − 3)
- 𝑦(𝑡) = 𝑥(3 − 𝑡) + 𝑥(𝑡 − 2)
- 𝑦(𝑛) = 𝑥(2𝑛)
- 𝑦(𝑛) = sin[𝑥(𝑛)]
- $\mathrm{y(t)=\int_{-\alpha }^{2t}\, x(u)du}$
解答
给定系统为：
𝑦(𝑡) = 𝑥2(𝑡) + 𝑥(𝑡 − 3)
可以通过考虑不同的 t 值来确定给定系统的因果关系：
𝑡 = 0 → 𝑦(0) = 𝑥2(0) + 𝑥(−3)
𝑡 = (−2) → 𝑦(−2) = 𝑥2(−2) + 𝑥(−5)
𝑡 = 2 → 𝑦(2) = 𝑥2(2) + 𝑥(−1)
因此，对于所有 t 值，输出仅取决于输入的当前值和过去值。因此，给定系统是一个因果系统。
给定系统为：
𝑦(𝑡) = 𝑥(3 − 𝑡) + 𝑥(𝑡 − 2)
可以通过考虑不同的 t 值来确定给定系统的因果关系：
𝑡 = 0 → 𝑦(0) = 𝑥(3) + 𝑥(−2)
𝑡 = (−1) → 𝑦(−1) = 𝑥(4) + 𝑥(−3)
𝑡 = 1 → 𝑦(1) = 𝑥(2) + 𝑥(−1)
很明显，对于某些 t 值，系统的输出取决于输入的未来值。因此，给定系统是一个非因果系统。
给定：
𝑦(𝑛) = 𝑥(3𝑛)
系统在不同时刻的输出为：
𝑛 = 0 → 𝑦(0) = 𝑥(0)
𝑛 = −1 → 𝑦(−1) = 𝑥(−3)
𝑛 = 1 → 𝑦(1) = 𝑥(3)
𝑛 = 2 → 𝑦(2) = 𝑥(6)
因此，对于 n 的正值，系统的输出取决于输入的未来值。因此，给定系统是一个非因果系统。
给定系统为：
𝑦(𝑛) = sin[𝑥(𝑛)]
系统在不同 n 值下的输出为：
𝑛 = 0 → 𝑦(0) = sin[𝑥(0)]
𝑛 = −3 → 𝑦(−3) = sin[𝑥(−3)]
𝑛 = 3 → 𝑦(3) = sin[𝑥(3)]
因此，对于所有 n 值，系统的输出仅取决于当前输入值。因此，该系统是一个因果系统。
给定系统为：
$$\mathrm{y(t)=\int_{-\alpha }^{2t}\, x(u)du}$$对于不同的 t 值，系统的输出为：
$$\mathrm{t=0\rightarrow y(0)=\int_{-\alpha }^{0}x(u)du=[x(0)-x(-\alpha )]}$$ $$\mathrm{t=-1\rightarrow y(-1)=\int_{-\alpha }^{-2}x(u)du=[x(-2)-x(-\alpha )]}$$ $$\mathrm{t=1\rightarrow y(1)=\int_{-\alpha }^{2}x(u)du=[x(2)-x(-\alpha )]}$$ $$\mathrm{t=2\rightarrow y(2)=\int_{-\alpha }^{4}x(u)du=[x(4)-x(-\alpha )]}$$
因此，对于 t 的正值，系统的输出取决于输入的未来值。因此，给定系统是一个非因果系统。
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