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法学信号与系统：能量信号和功率信号
能量信号
当且仅当信号的总能量E是有限的，即0 < 𝐸 < ∞时，该信号被称为能量信号。对于能量信号，平均功率P = 0。非周期信号是能量信号的例子。
功率信号
当且仅当信号的平均功率P是有限的，即0 < 𝑃 < ∞时，该信号被称为功率信号。对于功率信号，总能量E = ∞。周期信号是功率信号的例子。
连续时间情况
在电路中，信号可能表示电流或电压。考虑一个施加在电阻R上的电压v(t)，i(t)是流过它的电流，如图所示。（此处应插入图片）
电阻R上的瞬时功率由下式给出：
𝑝(𝑡) = 𝑣(𝑡) ∙ 𝑖(𝑡) … (1)
根据欧姆定律：
$$\mathrm{p(t)=v(t)\frac{v(t)}{R}=\frac{v^{2}(t)}{R}\, \, \, \, \cdot \cdot \cdot (2)}$$
此外：
𝑝(𝑡) = 𝑖(𝑡)𝑅 ∙ 𝑖(𝑡) = 𝑖2(𝑡)𝑅 … (3)
当电阻R的值为1Ω时，其耗散的功率称为归一化功率。因此：
归一化功率，𝑝(𝑡) = 𝑣2(𝑡) = 𝑖2(𝑡) … (4)
如果v(t)或i(t)用连续时间信号x(t)表示，则瞬时功率等于信号幅度的平方，即：
𝑝(𝑡) = |𝑥(𝑡)|2 … (5)
因此，连续时间信号x(t)的平均功率或归一化功率由下式给出：
$$\mathrm{P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{T}\int_{-(T/2)}^{(T/2)}\left | x(t) \right |^{2}\: dt\: \: \:瓦特 \:\: \: \: \: \cdot \cdot \cdot (6)}$$
连续时间信号的总能量或归一化能量定义为：
$$\mathrm{E=\lim_{T\rightarrow \infty }\int_{-(T/2)}^{(T/2)}\left | x(t) \right |^{2}\: dt\: \: \: \:焦耳 \: \: \: \cdot \cdot \cdot (7)}$$
离散时间情况
对于离散时间信号x(n)，积分用求和代替。因此，离散时间信号x(n)的总能量定义为：
$$\mathrm{E=\sum_{n=-\infty }^{\infty }\left | x(t) \right |^{2}}$$
离散时间信号x(t)的平均功率定义为：
$$\mathrm{P=\lim_{N\rightarrow \infty }\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N}\left | x(t) \right |^{2}}$$
要点
能量信号和功率信号是互斥的，即任何信号都不能同时是能量信号和功率信号。
如果信号的能量和功率都等于无穷大，则该信号既不是能量信号也不是功率信号。
所有实际信号都具有有限能量；因此它们是能量信号。
在实践中，物理上不可能产生功率信号，因为它需要无限的持续时间和无限的能量。
所有有限持续时间和有限幅度的信号都是能量信号。
能量信号和功率信号之和是功率信号。
在无限持续时间内幅度恒定的信号是功率信号。
信号的能量不受**时间平移**和时间反转的影响。它只受**时间缩放**的影响。
数值例子
确定信号𝑥(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔0𝑡 + 𝜑)的功率和能量。
解答
给定信号为：
𝑥(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔0𝑡 + 𝜑)
信号的平均功率
$$\mathrm{P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{T}\int_{-(T/2)}^{(T/2)}\left | x(t) \right |^{2}\: dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{T}\int_{-(T/2)}^{(T/2)}\left | A\, \sin (\omega _{0}t+\varphi ) \right |^{2}\: dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{A^{2}}{T}\int_{-(T/2)}^{(T/2)}\left |\frac{1-\cos (2\omega _{0}t+2\varphi )}{2} \right |\: dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{A^{2}}{2T}\int_{-(T/2)}^{(T/2)}\, dt-\frac{A^{2}}{2T}\int_{-(T/2)}^{(T/2)}\cos (2\omega _{0}t+2\varphi ) \: dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{A^{2}}{2T}\int_{-(T/2)}^{(T/2)}\, dt-0=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{A^{2}}{2T}\left [ \frac{T}{2}+\frac{T}{2} \right ]=\frac{A^{2}}{2} }$$
信号的归一化能量
$$\mathrm{E=\int_{-\infty }^{\infty }\left | x(t)\right |^{2}\: dt=\int_{-\infty }^{\infty } \left | A\, \sin (\omega _{0}t+\varphi ) \right |^{2}\: dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow E=A^{2}\int_{-\infty }^{\infty }\left [ \frac{1-\cos (2\omega _{0}t+2\varphi )}{2} \right ]\: dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow E=\frac{A^{2}}{2}\int_{-\infty }^{\infty }dt-\frac{A^{2}}{2}\int_{-\infty }^{\infty }\cos (2\omega _{0}t+2\varphi )\: dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow E=\frac{A^{2}}{2}\left [ t \right ]_{-\infty }^{\infty }-0=\infty }$$
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