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法律研究信号与系统 – 能量谱密度 (ESD) 和自相关函数
能量谱密度
信号在频域中的能量分布称为**能量谱密度 (ESD)** 或**能量密度 (ED)** 或**能量密度谱**。它用 ψ(ω) 表示，由下式给出：
$$\mathrm{\psi (\omega )=\left | X(\omega ) \right |^{2}}$$
自相关
自相关函数给出了信号与其延时版本之间相似性的度量。能量信号 x(t) 的自相关函数由下式给出：
$$\mathrm{R(\tau )=\int_{-\infty }^{\infty}x(t)\:x^{*}(t-\tau )\:dt}$$
其中，参数 τ 称为*延迟参数*。
ESD 和自相关函数之间的关系
自相关函数 R(τ) 和能量谱密度 (ESD) 函数 ψ(ω) 构成傅里叶变换对，即：
$$\mathrm{R(\tau )\overset{FT}{\leftrightarrow}\psi (\omega )}$$
证明
函数 x(t) 的自相关定义为：
$$\mathrm{R(\tau )=\int_{-\infty }^{\infty }x(t)\:x^{*}(t-\tau )dt}$$
用其逆变换替换 x*(t-τ)，得到：
$$\mathrm{R(\tau )=\int_{-\infty }^{\infty }x(t)\left [\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty }^{\infty }X(\omega )\:e^{j\omega(t-\tau )}d\omega \right ]^{*}\:dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow R(\tau )=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty }^{\infty }x(t)\left [\int_{-\infty }^{\infty }X^{*}(\omega )\:e^{-j\omega(t-\tau )}d\omega \right ]\:dt}$$
交换积分顺序，得到：
$$\mathrm{R(\tau )=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty }^{\infty }X^{*}(\omega) \left [\int_{-\infty }^{\infty }x(t)\:e^{-j\omega\tau }dt \right ]e^{j\omega \tau }\:d\omega }$$
$$\mathrm{\Rightarrow R(\tau )=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty }^{\infty }X^{*}(\omega)\:X(\omega )e^{j\omega \tau }d\omega }$$
$$\mathrm{\because X^{*}(\omega) X(\omega )=\left | X(\omega )\right |^{2}=\psi (\omega)}$$
$$\mathrm{\therefore R(\tau ) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}\left | X(\omega ) \right |^{2}\:e^{j\omega \tau }d\omega =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}\psi (\omega) e^{j\omega \tau }d\omega=F^{-1}\left [ \psi (\omega) \right ]}$$
因此，
$$\mathrm{F\left [R(\tau ) \right ]=\psi (\omega )}$$
或者可以写成
$$\mathrm{R(\tau )\overset{FT}{\leftrightarrow}\psi (\omega )}$$
这证明了自相关函数 R(τ) 和 ESD 函数 ψ(ω) 构成傅里叶变换对。
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