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法律研究功率谱密度 (PSD) 和自相关函数
功率谱密度
信号在频域中平均功率的分布称为**功率谱密度 (PSD) 或功率密度 (PD) 或功率密度谱**。功率谱密度用 $\mathit{S\left (\omega \right )}$ 表示，其公式为：
$$\mathrm{\mathit{S\left (\omega \right )\mathrm{=}\lim_{\tau \rightarrow \infty }\frac{\left | X\left (\omega \right ) \right |^{\mathrm{2}}}{\tau }}}$$
自相关
自相关函数用于衡量信号与其延迟版本之间的相似度。功率（或周期）信号 $\mathit{x\left ( t \right ) }$ 在任意周期 T 下的自相关函数为：
$$\mathrm{\mathit{R\left(\tau \right)=\lim_{T\rightarrow \infty }\mathrm{\frac{1}{\mathit{T}}}\int_{-\left(T/\mathrm{2}\right)}^{T/\mathrm{2}}x\left(t\right)\:x^{*}\left(t-\tau \right)\:dt}}$$
其中，$\tau$ 称为延迟参数。
PSD 和自相关函数之间的关系
功率信号的功率谱密度函数 $\mathit{S\left(\omega\right )}$ 和自相关函数 $\mathit{R\left(\tau \right)}$ 构成一对傅里叶变换对，即：
$$\mathrm{\mathit{R\left(\tau \right)\overset{FT}{\leftrightarrow}S\left(\omega\right)}}$$
证明 - 功率信号 $\mathit{x\left ( t \right ) }$ 的自相关函数可以用指数傅里叶级数系数表示为：
$$\mathrm{\mathit{R\left(\tau \right)=\sum_{n=-\infty }^{\infty } C_{n}\:C_{-n}\:e^{jn\omega _{\mathrm{0}}\tau }}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$
其中，$\mathit{C_{n}}$ 和 $\mathit{C_{-n}}$ 是指数傅里叶级数系数。
$$\mathrm{\mathit{\because C_{n}\:C_{-n}=\left | C_{n} \right |^{\mathrm{2}}}}$$
因此，公式 (1) 可以写成：
$$\mathrm{\mathit{R\left(\tau\right)=\sum_{n=-\infty }^{\infty }\left | C_{n} \right |^{\mathrm{2}}\:e^{jn\omega _{\mathrm{0}}\tau }}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$
对公式 (2) 两边进行傅里叶变换，得到：
$$\mathrm{\mathit{F\left [ R\left ( \tau \right ) \right ]=F\left [\sum_{n=-\infty }^{\infty }\left | C_{n} \right |^{\mathrm{2}}e^{jn\omega _{\mathrm{0}}\tau } \right ]=\int_{-\infty }^{\infty }\left [ \sum_{n=-\infty }^{\infty }\left | C_{n} \right |^{\mathrm{2}}e^{jn\omega _{\mathrm{0}}\tau } \right ]e^{-j\omega \tau }\:d\tau}}$$
交换上述表达式右边积分和求和的顺序，得到：
$$\mathrm{\mathit{F[R(\tau )] =\sum_{n=-\infty }^{\infty }\left|C_{n}\right| ^{\mathrm{2}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{jn\omega _{0}\tau} e^{-j\omega \tau } \:d\tau = \sum_{n=-\infty }^{\infty }\left|C_{n}\right| ^{\mathrm{2}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\tau (\omega -n\omega _{0}) } \:d\tau }}$$
$$\mathrm{\mathit{\because \int_{-\infty }^{\infty}e^{-j \tau(\omega -n\omega _{0}) }\:d\tau=\mathrm{2}\pi \delta (\omega -n\omega _{0})}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore F\left [ R\left ( \tau \right ) \right ]=\mathrm{2}\pi \sum_{n=-\infty }^{\infty }\left | C_{n} \right |^{\mathrm{2}}\delta (\omega -n\omega _{\mathrm{0}})}\:\:\:\:\:\:...(3)}$$
公式 (3) 的右边是功率函数 $\mathit{x\left(t\right)}$ 的功率谱密度 (PSD)。因此，
$$\mathrm{\mathit{F\left [ R\left(\tau \right)\right ]=S\left(\omega\right)}}$$
或者，也可以表示为：
$$\mathrm{\mathit{R\left(\tau\right)\overset{FT}{\leftrightarrow}S\left(\omega\right)}}$$
因此，证明了功率信号的自相关函数 $\mathit{R\left(\tau\right )}$ 和 PSD 函数 $\mathit{S\left (\omega \right )}$ 构成傅里叶变换对。
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