自相关函数及其性质

什么是自相关？

信号的自相关函数定义为信号与其延时版本的相似性或一致性的度量。因此，自相关是信号与自身的相关性。

能量信号（非周期信号）和功率信号（周期信号）的自相关函数定义有所不同。

能量信号的自相关函数

能量信号$\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$的自相关函数定义为：

$$\mathrm{\mathit{R_{\mathrm{11}}\left ( \tau \right )\mathrm{=}R\left ( \tau \right )\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )x^{\ast }\left ( t-\tau \right )dt\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t\mathrm{+ }\tau \right )x^{\ast }\left ( t \right )dt}}$$

其中，变量$\mathrm{\mathit{\tau}}$称为延迟参数。

能量信号自相关函数的性质

能量信号自相关函数的性质如下：

性质 1

能量信号的自相关函数具有复共轭对称性，这意味着自相关函数$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )}}$的实部是延迟参数（$\mathrm{\mathit{\tau}}$）的偶函数，而$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )}}$的虚部是参数$\mathrm{\mathit{\tau}}$的奇函数。因此，

$$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )\mathrm{=}R^{\ast }\left ( -\tau \right )}}$$

性质 2

当延迟参数$\mathrm{\mathit{\tau}}$向任何方向增加时，能量信号的自相关函数$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )}}$都会减小。因此，当参数$\mathrm{\mathit{\tau}}$减小时，自相关$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )}}$增大，并在$\mathrm{\mathit{\tau \: \mathrm{=}}}$ 0（或原点）处达到最大值。所以，

$$\mathrm{\mathit{\left| R\left ( \tau \right )\right|\leq R\left ( \mathrm{0} \right );\; \; \mathrm{for\: all\: }\tau }}$$

性质 3

能量信号的自相关函数在原点（即$\mathrm{\mathit{\tau\:\mathrm{=}}}$ 0）的值等于该信号的总能量E，即

$$\mathrm{\mathit{ R\left ( \tau \right )|_{\tau \mathrm{=}\mathrm{0}}\mathrm{=}E\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }\left|x\left ( t \right ) \right|^{\mathrm{2}}dt}}$$

性质 4

能量信号的自相关函数$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )}}$和能量谱密度 (ESD) 函数 𝜓(𝜔) 构成傅里叶变换对，即

$$\mathrm{\mathit{ R\left ( \tau \right )\leftrightarrow \psi \left ( \omega \right )}}$$

功率信号的自相关函数

任何周期为T的功率信号或周期信号$\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$的自相关函数定义为：

$$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )\mathrm{=}\displaystyle \lim_{T \to \infty }\frac{\mathrm{1}}{T}\int_{-T/\mathrm{2} }^{T/\mathrm{2}}x\left ( t \right )x^{\ast }\left ( t-\tau \right )dt}}$$

功率信号自相关函数的性质

功率信号自相关函数的性质如下：

性质 1

功率信号或周期信号的自相关函数具有复共轭对称性，即

$$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )\mathrm{=}R^{\ast }\left ( -\tau \right )}}$$

性质 2

功率信号自相关函数在原点（即$\mathrm{\mathit{\tau\:\mathrm{=}}}$ 0）的值等于该信号的平均功率 (P)，即

$$\mathrm{\mathit{R\left ( \mathrm{0} \right )\mathrm{=}P}}$$

性质 3

当延迟参数$\mathrm{\mathit{\tau}}$减小时，功率信号的自相关$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )}}$增大，并在原点处达到最大值，即

$$\mathrm{\mathit{\left| R\left ( \tau \right )\right|\leq R\left ( \mathrm{0} \right )}}$$

性质 4

自相关函数$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )}}$与功率（或周期）信号本身具有相同的周期性，即

$$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )\mathrm{=}R\left ( \tau\pm nT \right );\; \; \; \; \mathrm{where,\:\mathit{n}\mathrm{=}1,\, 2,\, 3,\, \cdot \cdot \cdot } }}$$

性质 5

功率信号的自相关函数$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )}}$和功率谱密度 (PSD) 函数$\mathrm{\mathit{S\left ( \omega \right )}}$构成傅里叶变换对，即

$$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )\leftrightarrow S\left ( \omega \right )}}$$

Saini Manish Kumar

更新于：2022年1月7日

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