互相关函数及其性质

互相关函数

两个不同信号之间的互相关函数定义为一个信号与另一个信号的时间延迟版本的相似性或一致性的度量。

互相关函数分别针对能量（或非周期性）信号和功率或周期性信号定义。

能量信号的互相关

考虑两个能量信号$\mathit{x_{\mathrm{1}}}\mathrm{(\mathit{t})}$和$\mathit{x_{\mathrm{2}}}\mathrm{(\mathit{t})}$。这两个能量信号的互相关定义为：

$$\mathit{R_{\mathrm{12}}}\mathrm{(\tau)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x_{\mathrm{1}}}\mathrm{(\mathit{t})}x_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{dt} \:\mathrm{=}\: \int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x_{\mathrm{1}}}\mathrm{(\mathit{t+\tau})}\mathit{x_\mathrm{2}^*}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{dt}$$

其中，变量$\tau$称为延迟参数、扫描参数或搜索参数。

两个能量信号的互相关以另一种形式定义为：

$$\mathit{R_{\mathrm{12}}}\mathrm{(\mathit{\tau})} \:\mathrm{=}\: \int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x_\mathrm{2}}\mathrm{(t)}\mathit{x_\mathrm{1}^*}\mathrm{(t-\tau)}\:\mathit{dt}$$

能量信号互相关函数的性质

能量信号互相关函数的性质如下：

性质 1

能量信号的互相关函数表现出共轭对称性，即

$$\mathit{R_\mathrm{12}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\mathit{R_\mathrm{21}^*}\mathrm{(-\tau)}$$

性质 2

能量信号的互相关函数通常不是可交换的，即

$$\mathit{R_\mathrm{12}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{ eq}\:\mathit{R_\mathrm{21}}\mathrm{(-\tau)}$$

性质 3

如果

$$\mathit{R_\mathrm{12}}\mathrm{(0)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x_\mathrm{1}}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{x_\mathrm{2}^*}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\mathrm{0}$$

则称两个能量信号$\mathit{x_{\mathrm{1}}}\mathrm{(\mathit{t})}$和$\mathit{x_{\mathrm{2}}}\mathrm{(\mathit{t})}$在整个时间间隔内为正交信号。正交信号的互相关为零。

性质 4

两个能量信号的互相关等效于一个信号的傅里叶变换与另一个信号的傅里叶变换的复共轭的乘积，即

$$\mathit{R_\mathrm{12}}\mathrm{(\tau)}\:\leftrightarrow\:\mathit{X_\mathrm{1}}\mathrm(\omega).\mathit{X_\mathrm{2}^*}\mathrm{(\mathit{\omega})}$$

互相关的这一性质称为相关定理。

功率信号的互相关

考虑两个功率（或周期性）信号$\mathit{x_{\mathrm{1}}}\mathrm{(\mathit{t})}$和$\mathit{x_{\mathrm{2}}}\mathrm{(\mathit{t})}$，它们具有相同的时间周期（例如T），则这两个功率信号的互相关定义为：

$$\mathit{R_\mathrm{21}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathrm{(\mathit{T}\diagup2)}}^{\mathrm{(\mathit{T}\diagup2)}}\mathit{x_\mathrm{1}}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{x_\mathrm{2}^*}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{dt}$$

两个周期函数的互相关以另一种形式定义为：

$$\mathit{R_\mathrm{21}}\mathrm{(\tau)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathrm{(\mathit{T}/\mathrm{2})}}^{\mathrm{(\mathit{T/\mathrm{2}})}}\mathit{x_\mathrm{2}}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathit{x_\mathrm{1}^*}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\:\mathit{dt}$$

其中，变量$\tau$称为延迟参数。

功率信号互相关函数的性质

功率信号互相关的性质如下：

性质 1

两个功率信号的互相关表现出复共轭对称性，即

$$\mathit{R_\mathrm{12}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\mathit{R_\mathrm{21}^*}\mathrm{(-\tau)}$$

性质 2

两个功率信号的互相关不是可交换的，即

$$\mathit{R_\mathrm{12}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{ eq}\:\mathit{R_\mathrm{21}}\mathrm{(-\tau)}$$

性质 3

两个功率信号的互相关函数等效于一个信号的傅里叶变换与另一个信号的傅里叶变换的复共轭的乘积，即

$$\mathit{R_\mathrm{12}}\mathrm{(\tau)}\:\leftrightarrow\:\mathit{X_\mathrm{1}}\mathrm{(\omega)}.\mathit{X_\mathrm{2}^*}\mathrm{(\omega)}$$

性质 4

如果

$$\mathit{R_\mathrm{12}}\mathrm{(0)}\:\mathrm{=}\:\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathrm{(T/\mathrm{2})}}^{\mathrm{(T/\mathrm{2})}}\mathit{x_\mathrm{1}}\mathrm{(t)}\:\mathit{x_\mathrm{2}^*}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\mathrm{0}$$

则称两个功率信号$\mathit{x_{\mathrm{1}}}\mathrm{(\mathit{t})}$和$\mathit{x_{\mathrm{2}}}\mathrm{(\mathit{t})}$在整个时间间隔内为正交信号。

Manish Kumar Saini

更新于: 2022年1月7日

13K+ 浏览量

开启您的 职业生涯

通过完成课程获得认证

开始学习