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法律研究信号与系统 – 卷积与相关性的关系
卷积
卷积是将两个信号组合形成第三个信号的数学运算。换句话说，卷积是一种数学方法，用于表达线性时不变 (LTI) 系统的输入和输出特性之间的关系。
在数学上，两个信号的卷积由下式给出：
$$\mathrm{x_{1}\left ( t \right )\ast x_{2}\left ( t \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x_{1}\left ( \tau \right )x_{2}\left ( t-\tau \right )d\tau =\int_{-\infty }^{\infty }x_{2}\left ( \tau \right )x_{1}\left ( t-\tau \right )d\tau}$$
相关性
相关性定义为两个信号、函数或波形之间相似性的度量。相关性分为两种类型，即**互相关**和**自相关**。
两个复信号 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 之间的互相关由下式给出：
$$\mathrm{R_{12}\left ( \tau \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x_{1}\left ( t \right )x^{\ast }_{2}\left ( t-\tau \right )dt =\int_{-\infty }^{\infty }x_{1}\left ( t+\tau \right )x^{*}_{2}\left ( t \right )dt}$$
如果 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 是实信号，则：
$$\mathrm{R_{12}\left ( \tau \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x_{1}\left ( t \right )x_{2}\left ( t-\tau \right )dt =\int_{-\infty }^{\infty }x_{1}\left ( t+\tau \right )x_{2}\left ( t \right )dt}$$
卷积与相关性的关系
卷积和相关性密切相关。为了获得两个实信号 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 的互相关，我们将信号 𝑥1(𝑡) 与移位 τ 个单位的函数 𝑥2(𝑡) 相乘。然后，乘积曲线下的面积是信号 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 在 𝑡 = 𝜏 时的互相关。
另一方面，信号 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 在 𝑡 = 𝜏 时的卷积是通过将函数 𝑥2(𝑡) 绕原点垂直轴反转 [即，𝑥2(−𝑡)]，然后相乘得到的。乘积曲线下的面积是信号 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 在 𝑡 = 𝜏 时的卷积。
因此，可以得出结论，信号 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 的相关性与信号 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(−𝑡) 的卷积相同。
分析解释
卷积和相关性之间的相似性可以通过以下方式进行分析证明：
两个信号 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(−𝑡) 的卷积由下式给出：
$$\mathrm{x_{1}\left ( t \right )\ast x_{2}\left ( -t \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x_{1}\left ( \tau \right )x_{2}\left ( \tau-t \right )d\tau\: \: \: \cdot \cdot \cdot \left ( 1 \right )}$$
通过将变量 𝜏 替换为方程 (1) 的积分中的另一个变量 p，我们得到：
$$\mathrm{x_{1}\left ( t \right )\ast x_{2}\left ( -t \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x_{1}\left ( p \right )x_{2}\left ( p-t \right )dp\: \: \: \cdot \cdot \cdot \left ( 2 \right )}$$
现在，将方程 (2) 中的变量 𝑡 替换为 𝜏，我们有：
$$\mathrm{x_{1}\left ( \tau \right )\ast x_{2}\left ( -\tau \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x_{1}\left ( p \right )x_{2}\left ( p-\tau \right )dp=R_{12}\left ( \tau \right )}$$
因此，相关性和两个信号卷积之间的关系由下式给出：
$$\mathrm{R_{12}\left ( \tau \right )=x_{1}\left ( t \right )\ast x_{2}\left ( -t \right )|_{t=\tau }}$$
同样地，
$$\mathrm{R_{21}\left ( \tau \right )=x_{2}\left ( t \right )\ast x_{1}\left ( -t \right )|_{t=\tau }}$$
因此，这证明了信号 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 的相关性等效于信号 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(−𝑡) 的卷积。
因此，所有用于评估两个信号卷积的技术也可以直接应用于查找信号的相关性。类似地，卷积获得的所有结果都适用于相关性。
**注意** – 如果其中一个信号是偶信号，例如，信号 𝑥2(𝑡) 是偶信号 [即 𝑥2(𝑡) = 𝑥2(−𝑡)]。那么，两个信号的互相关和卷积是等效的。
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