什么是信号与系统中的卷积？

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什么是卷积？

卷积 是一种将两个信号组合形成第三个信号的数学工具。因此，在信号与系统中，卷积非常重要，因为它将系统的输入信号和冲激响应联系起来，从而产生系统的输出信号。换句话说，卷积用于表示 LTI 系统的输入和输出关系。

解释

考虑一个在 t = 0 时处于松弛状态的连续时间 LTI 系统，即最初没有输入施加到它。现在，如果将冲激信号 [δ(t)] 输入到系统，则系统的输出称为系统的冲激响应 h(t)，表示为：

$$\mathrm{h(t)=T[\delta(t)]}$$

由于任何任意信号 x(t) 可以表示为：

$$\mathrm{x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\:\delta (t-\tau)d\tau}$$

那么，对应于 x(t) 的系统输出由下式给出：

$$\mathrm{y(t)=T[x(t)]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow y(t)=T\left [\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau) \:\delta (t-\tau )d\tau\right ]}$$

对于连续时间线性系统，输出由下式给出：

$$\mathrm{y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\:T\left [\delta( t-\tau )\right ]d\tau\:\:\:\:\:\:...(1)}$$

现在，如果系统对冲激信号 δ(t) 的响应是 h(t)，则线性系统对延迟冲激信号的响应由下式给出：

$$\mathrm{h(t,\tau)=T[\delta(t-\tau)]}$$

将 $T[\delta(t-\tau)]$ 的值代入方程 (1)，得到：

$$\mathrm{y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\:h(t,\tau)d\tau\:\:\:\:\:\:...(2)}$$

同样，对于一个时不变系统，对应于延迟 τ 个单位的输入的输出等于延迟 τ 个单位的输出，即：

$$\mathrm{h(t,\tau)=h(t-\tau)}$$

将 $h(t,\tau)$ 的值代入方程 (2)，得到：

$$\mathrm{y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\:h(t-\tau)d\tau\:\:\:\:\:\:...(3)}$$

方程 (3) 中的表达式称为**卷积积分**或简称**卷积**。

因此，两个连续时间信号 x(t) 和 h(t) 的卷积表示为：

$$\mathrm{y(t)=x(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\:h(t-\tau)d\tau}$$

卷积积分中的积分极限取决于任意信号 x(t) 和冲激响应 h(t) 是否因果。因此，

• 如果 x(t) 和 h(t) 均为非因果，则：

$$\mathrm{y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\:h(t-\tau)d\tau}$$

• 如果信号 x(t) 为非因果且冲激响应 h(t) 为因果，则：

$$\mathrm{y(t)=\int_{-\infty}^{t}x(\tau)\:h(t-\tau)d\tau}$$

• 如果信号 x(t) 为因果且 h(t) 为非因果，则：

$$\mathrm{y(t)=\int_{0}^{\infty}x(\tau)\:h(t-\tau)d\tau}$$

• 如果 x(t) 和 h(t) 均为因果，则：

$$\mathrm{y(t)=\int_{0}^{t}x(\tau)\:h(t-\tau)d\tau}$$