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法律研究信号与系统中卷积的性质
卷积
卷积是一种将两个信号组合以产生第三个信号的数学工具。换句话说，卷积可以定义为一种用于表达线性时不变系统(LTI系统)输入和输出之间关系的数学运算。
考虑两个信号$\mathit{x_{\mathrm{1}}\left( t\right )}$和$\mathit{x_{\mathrm{2}}\left( t\right )}$。则这两个信号的卷积定义为
$$\mathrm{ \mathit{\mathit{y\left(t\right)=x_{\mathrm{1}}\left({t}\right)*x_{\mathrm{2}}\left({t}\right)\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left(\tau\right)x_{\mathrm{2}}\left(t-\tau\right)\:d\tau=\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{2}}\left(\tau \right)x_{\mathrm{1}}\left(t-\tau\right)\:d\tau }}}$$
卷积的性质
连续时间卷积具有基本且重要的性质，如下所示：
卷积的交换律 - 卷积的交换律指出，我们对两个信号进行卷积的顺序不会改变结果，即：
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t\right)*x_{\mathrm{2}}\left(t\right)=x_{2}(t)*x_{\mathrm{1}}\left(t\right)}}$$
卷积的分配律 - 卷积的分配律指出，如果存在三个信号$\mathit{x_{\mathrm{1}}\left( t\right )}$,$\mathit{x_{\mathrm{2}}\left( t\right )}$$\mathrm{和}$ $\mathit{x_{\mathrm{3}}\left( t\right )}$，则$\mathit{x_{\mathrm{1}}\left( t\right )}$的卷积对加法$\mathit{\left [x_{\mathrm{2}}\left( t\right ) \mathrm{+}\mathit{x_{\mathrm{3}}\left( t\right )}\right ]}$满足分配律，即：
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t\right)*\left [x_{\mathrm{2}}\left(t\right)\mathrm{+}x_{\mathrm{3}}\left(t\right) \right ]\mathrm{=}\left [ x_{\mathrm{1}}\left(t\right)*x_{\mathrm{2}}\left(t\right) \right ]\mathrm{+}\left [x_{\mathrm{1}}\left(t\right)*x_{\mathrm{3}}\left(t\right)\right ]}}$$
卷积的结合律 - 卷积的结合律指出，信号在卷积中的分组方式不会改变结果，即：
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t\right)*\left [ x_{\mathrm{2}}\left(t\right)*x_{\mathrm{3}}\left(t\right) \right ]=\left [ x_{\mathrm{1}}\left(t\right)*x_{\mathrm{2}}\left(t\right) \right ]*x_{\mathrm{3}}\left(t\right)}}$$
卷积的移位性质 - 卷积的移位性质指出，信号与移位信号的卷积结果是该信号的移位版本，即如果
$$\mathrm{ \mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t\right)*x_{\mathrm{2}}\left(t\right)=y\left(t\right)}}$$
则根据卷积的移位性质，我们有：
$$\mathrm{ \mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t\right)*x_{\mathrm{2}}\left(t-T_{\mathrm{0}}\right)=y\left(t-T_{\mathrm{0}}\right)}}$$
同样地，
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t-T_{\mathrm{0}}\right)*x_{\mathrm{2}}\left(t\right)=y\left(t-T_{\mathrm{0}}\right)}}$$
因此，
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t-T_{1}\right)*x_{\mathrm{2}}\left(t-T_{\mathrm{2}}\right)=y\left(t-T_{\mathrm{1}}-T_{\mathrm{2}}\right)}}$$
卷积的宽度性质 - 令信号$\mathit{x_{\mathrm{1}}\left( t\right )}$和$\mathit{x_{\mathrm{2}}\left( t\right )}$的持续时间分别为T1和T2。则卷积的宽度性质指出，通过对$\mathit{x_{\mathrm{1}}\left( t\right )}$和$\mathit{x_{\mathrm{2}}\left( t\right )}$进行卷积得到的信号的持续时间等于$\mathit{\left (T_{\mathrm{1}}\mathrm{+}T_{\mathrm{2}} \right )}$
信号与冲激函数的卷积 - 卷积的这一性质指出，任意信号$\mathit{x\left (t\right )}$与单位冲激信号的卷积是信号本身，即：
$$\mathrm{x\left(t\right)*\delta\left(t\right)=x\left(t\right)}$$
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