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法律研究什么是信号与系统中的相关性？
什么是相关性？
两个函数、信号或波形的相关性定义为这些信号之间相似性的度量。相关性有两种类型：
互相关
自相关
互相关
两个不同信号、函数或波形之间的互相关定义为一个信号与另一个信号的延时版本之间相似性或一致性的度量。两个不同信号之间的互相关表示一个信号与另一个信号的延时版本之间相关程度。
能量（或非周期）信号和功率（或周期）信号的互相关分别定义。
能量信号的互相关
考虑两个有限能量的复信号$\mathit{x_{\mathrm{1}}\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}$和$\mathit{x_{\mathrm{2}}\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}$。然后，这两个能量信号的互相关定义为
$$\mathrm{\mathit{R_{\mathrm{12}}\mathrm{\left(\tau\right )}\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\mathrm{\left ( \mathit{t}\right)}x_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{\left( \mathit{t-\tau }\right )}dt}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t+\tau }\right )}\mathit{x}_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{dt}}$$
如果两个信号$\mathit{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}$和$\mathit{\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}$是实数，那么它们之间的互相关为：
$$\mathrm{\mathit{R_{\mathrm{12}}\mathrm{\left(\tau\right )}\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\mathrm{\left ( \mathit{t}\right)}x_{\mathrm{2}}\mathrm{\left( \mathit{t-\tau }\right )}dt}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{\mathit{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t+\tau} \right )}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathit{dt}}$$
如果能量信号$\mathit{x_{\mathrm{1}}\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}$和$\mathit{x_{\mathrm{2}}\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}$具有一定的相似性。然后，它们之间的互相关$\mathit{R_{\mathrm{12}}\mathrm{\left(\tau\right )}}$在$\tau$范围内将具有一定的有限值。变量$\tau$称为延迟参数、搜索参数或扫描参数。时间延迟参数（$\tau$）是两个信号之一的时间延迟或时间偏移。此延迟参数$\tau$决定了两个信号之间的相关性。
功率信号的互相关
两个功率（或周期）信号$\mathit{x_{\mathrm{1}}\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}$和$\mathit{x_{\mathrm{2}}\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}$的互相关$\mathit{R_{\mathrm{12}}\mathrm{\left(\tau\right )}}$可以使用相关的平均形式定义。如果两个功率信号$\mathit{x_{\mathrm{1}}\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}$和$\mathit{x_{\mathrm{2}}\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}$具有相同的时间周期（例如T），则它们之间的互相关定义如下：
$$\mathrm{\mathit{R_{\mathrm{12}}\mathrm{\left(\tau\right )}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathrm{\left (\mathit{T/\mathrm{2}}\right )}}^{\mathrm{\left(\mathit{T/\mathrm{2}}\right)}}x_{\mathrm{1}}\mathrm{\left ( \mathit{t}\right)}x_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{\left( \mathit{t-\tau }\right )}\:dt}}$$
自相关
自相关函数定义为信号与其延时版本之间相似性或一致性的度量。因此，自相关是信号与其自身的相关性。
与互相关一样，自相关也分别为能量（或非周期）信号和功率（周期）信号定义。
能量信号的自相关
能量或非周期信号$\mathit{x\mathrm(\mathit{t})}$的自相关定义为：
$$\mathrm{\mathit{R_{\mathrm{11}}\mathrm{\left(\tau\right )}\:\mathrm{=}\:R\mathrm{\left ( \tau \right )}\:\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }\:x\mathrm{\left ( \mathit{t}\right)}x^{\mathrm{*}}\mathrm{\left( \mathit{t-\tau }\right )}\:dt}}$$
其中，变量$\tau$称为延迟参数，此处，信号$\mathit{x\mathrm(\mathit{t})}$在正方向上时间偏移了$\tau$个单位。
如果信号$\mathit{x\mathrm(\mathit{t})}$在负方向上偏移了$\tau$个单位，则信号的自相关定义为：
$$\mathrm{\mathit{R_{\mathrm{11}}\mathrm{\left(\tau\right )}\:\mathrm{=}\:R\mathrm{\left ( \tau \right )}\:\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }\:x\mathrm{\left ( \mathit{t+\tau }\right)}x^{\mathrm{*}}\mathrm{\left( \mathit{t}\right )}\:dt}}$$
功率信号的自相关
具有时间周期T的功率信号或周期信号$\mathit{x\mathrm(\mathit{t})}$的自相关定义为：
$$\mathrm{\mathit{R\mathrm{\left(\tau\right )}\mathrm{=}\displaystyle \lim_{\mathrm{T} \to \infty }\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathrm{\left (\mathit{T/\mathrm{2}}\right )}}^{\mathrm{\left(\mathit{T/\mathrm{2}}\right)}}x\mathrm{\left ( \mathit{t}\right)}x^{*}\mathrm{\left( \mathit{t-\tau }\right )}\:dt}}$$
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