信号与系统：线性系统与非线性系统

线性系统

如果一个系统满足齐次性原理和叠加原理，则称该系统为线性系统。

齐次性原理

齐次性原理指出，对于输入 x(t) 生成输出 y(t) 的系统，必须对输入 ax(t) 生成输出 ay(t)。

叠加原理

根据叠加原理，对于输入 𝑥₁(𝑡) 生成输出 𝑦₁(𝑡) 且对于输入 𝑥₂(𝑡) 生成输出 𝑦₂(𝑡) 的系统，必须对输入 [𝑥₁(𝑡) + 𝑥₂(𝑡)] 生成输出 [𝑦₁(𝑡) + 𝑦₂(𝑡)]。

因此，对于连续时间线性系统，

[𝑎𝑦₁(𝑡) + 𝑏𝑦₂(𝑡)] = 𝑇[𝑎𝑥₁(𝑡) + 𝑏𝑥₂(𝑡)] = 𝑎𝑇[𝑥₁(𝑡)] + 𝑏𝑇[𝑥₂(𝑡)]

同样，对于离散时间线性系统，

[𝑎𝑦₁(𝑛) + 𝑏𝑦₂(𝑛)] = 𝑇[𝑎𝑥₁(𝑛) + 𝑏𝑥₂(𝑛)] = 𝑎𝑇[𝑥₁(𝑛)] + 𝑏𝑇[𝑥₂(𝑛)]

因此，我们可以说，如果系统对加权输入之和的输出等于各个输入输出的加权和，则该系统为线性系统。

滤波器电路、通信信道等是线性系统的一些例子。

非线性系统

如果一个系统不满足齐次性原理和叠加原理，则称该系统为非线性系统。

通常，如果描述系统的方程包含输入/输出的平方或更高阶项，或者输入/输出及其导数的乘积，或者常数，则该系统为非线性系统。GPS 信号的三边测量就是一个非线性系统的例子。

数值示例

检查给定的系统是线性系统还是非线性系统：

• $\mathrm{\frac{\mathrm{d^{2}}y(t) }{\mathrm{d} t^{2}}+3ty(t)=t^{2}x(t)}$

• $\mathrm{3\frac{\mathrm{d}y(t) }{\mathrm{d} t}+4y(t)=x^{2}(t)}$

解答

• 给定的系统为：

  $$\mathrm{\frac{\mathrm{d^{2}}y(t) }{\mathrm{d} t^{2}}+3ty(t)=t^{2}x(t)}$$

  考虑输入 𝑥₁(𝑡) 生成输出 𝑦₁(𝑡)，则：

  $$\mathrm{\mathrm{\frac{\mathrm{d^{2}}y_{1}(t) }{\mathrm{d} t^{2}}+3ty_{1}(t)=t^{2}x_{1}(t)}\: \: \cdot \cdot \cdot (1)}$$

  以及输入 𝑥₂(𝑡) 生成输出 𝑦₂(𝑡)，则：

  $$\mathrm{\mathrm{\frac{\mathrm{d^{2}}y_{2}(t) }{\mathrm{d} t^{2}}+3ty_{2}(t)=t^{2}x_{2}(t)}\: \: \cdot \cdot \cdot (2)}$$

  现在，方程 (1) 和 (2) 的线性组合给出：

  $$\mathrm{ \begin{Bmatrix} a\mathrm{\frac{\mathrm{d^{2}}y_{1}(t) }{\mathrm{d} t^{2}}+a3ty_{1}(t)}\ \end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix} b\mathrm{\frac{\mathrm{d^{2}}y_{2}(t) }{\mathrm{d} t^{2}}+b3ty_{2}(t)}\ \end{Bmatrix}=at^{2}x_{1}(t)+bt^{2}x_{2}(t) }$$
  $$\mathrm{\Rightarrow \frac{\mathrm{d} ^{2}}{\mathrm{d} t^{2}}\left [ ay_{1}(t)+by_{2}(t) \right ]+3t\left [ ay_{1}(t)+by_{2}(t) \right ]}$$
  $$\mathrm{= t^{2}\left [ ax_{1}(t)+bx_{2}(t) \right ]\: \: \cdot \cdot \cdot (3)}$$

  其中，[𝑎𝑦₁(𝑡) + 𝑏𝑦₂(𝑡)] 是输出的加权和，[𝑎𝑥₁(𝑡) + 𝑏𝑥₂(𝑡)] 是输入的加权和。

  因此，方程 (3) 表明，对给定系统施加加权输入之和生成的输出等于对每个单独输入施加输出的加权和。因此，给定的系统是**线性系统**。

• 给定的系统为：

  $$\mathrm{3\frac{\mathrm{d} y(t)}{\mathrm{d} t}+4y(t)=x^{2}(t)}$$

  假设输出 𝑦₁(𝑡) 对应于输入 𝑥₁(𝑡)，则：

  $$\mathrm{3\frac{\mathrm{d} y_{1}(t)}{\mathrm{d} t}+4y_{1}(t)=x_{1}^{2}(t)\: \: \cdot \cdot \cdot (1)}$$

  类似地，输出 𝑦₂(𝑡) 对应于输入 𝑥₂(𝑡)，则：

  $$\mathrm{3\frac{\mathrm{d} y_{2}(t)}{\mathrm{d} t}+4y_{2}(t)=x_{2}^{2}(t)\: \: \cdot \cdot \cdot (2)}$$

  然后，方程 (1) 和 (2) 的线性组合（即齐次性和叠加性）可以写成：

  $$\mathrm{\begin{Bmatrix} a3\frac{\mathrm{d} y_{1}(t)}{\mathrm{d} t}+a4y_{1}(t)\ \end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix} b3\frac{\mathrm{d} y_{2}(t)}{\mathrm{d} t}+b4y_{2}(t)\ \end{Bmatrix}=ax_{1}^{2}(t)+bx_{2}^{2}(t)}$$
  $$\mathrm{\Rightarrow 3\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left [ ay_{1}(t)+by_{2}(t) \right ]+4\left [ ay_{1}(t)+by_{2}(t) \right ]=ax_{1}^{2}(t)+bx_{2}^{2}(t)}$$

  其中，$\mathrm{\left [ ay_{1}(t)+by_{2}(t) \right ]}$ 是输出的加权和，但 $\mathrm{\left [ ax_{1}^{2}(t)+bx_{2}^{2}(t) \right ]}$ 不是输入的加权和。此处，叠加原理不满足。因此，给定的系统是**非线性系统**。

Manish Kumar Saini

更新时间： 2023年11月7日

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