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法律研究含噪声周期信号的检测（互相关法）
含噪声周期信号的检测
噪声信号是一种幅度变化随机的无用信号。噪声信号与任何周期信号都不相关。
检测被噪声信号掩盖的周期信号在信号处理中非常重要。它主要用于雷达和声纳信号的检测、脑电信号中周期成分的检测、海浪分析中周期成分的检测以及地球物理学的许多其他领域等。这些问题的解决方案可以通过相关技术轻松提供。因此，互相关函数可用于检测被噪声信号掩盖的周期信号。
假设$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$是一个周期信号，$\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}$是噪声信号。那么，信号$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$和$\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}$的互相关函数由下式给出：
$$\mathit{R_{xn}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\lim_{\mathit{T} \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:{0}; (对所有\:\mathit{\tau})$$
通过互相关检测周期信号
互相关可用于检测与另一个相同频率的周期信号混合的周期信号。互相关检测的缺点是需要预先知道待检测信号的频率。
现在，考虑周期信号$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$与噪声信号$\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}$混合，则接收到的信号由下式给出：
$$\mathit{y}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathrm{+}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}$$
另外，考虑$\mathit{z}\mathrm{(\mathit{t})}$是与周期信号$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$频率相同的局部生成的信号。因此，$\mathit{y}\mathrm{(\mathit{t})}$和$\mathit{z}\mathrm{(\mathit{t})}$的互相关函数由下式给出：
$$\mathit{R_{yz}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\lim_{\mathit{T} \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathrm{\mathit{y}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{z}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}}\mathit{dt}$$ $$\Rightarrow\mathit{R_{yz}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\lim_{\mathit{T} \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathrm{+}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}]}\mathit{z}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{dt}$$ $$\Rightarrow\mathit{R_{yz}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\lim_{\mathit{T} \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathrm{\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}}\mathit{z}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{dt}\mathrm{+}\lim_{\mathit{T} \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathrm{\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}}\mathit{z}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{dt}$$ $$\therefore\mathit{R_{yz}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\mathit{R_{xz}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\mathrm{+}\mathit{R_{nz}}\mathrm{(\mathit{\tau})}$$
由于函数$\mathit{z}\mathrm{(\mathit{t})}$是周期函数，并且它与噪声信号$\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}$不相关。因此，它们的互相关函数等于零，即：
$$\mathit{R_{nz}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:{0}$$ $$\therefore\mathit{R_{yz}}\mathrm{(\mathit{\tau})} \:\mathrm{=}\:\mathit{R_{xz}}\mathrm{(\mathit{\tau})}$$
这里，信号$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$和$\mathit{z}\mathrm{(\mathit{t})}$是相同频率的信号。因此，相关函数$\mathit{R_{xz}}\mathrm{(\mathit{\tau})}$也是相同频率的周期函数。因此，如果混合信号$\mathit{y}\mathrm{(\mathit{t})}$与$\mathit{z}\mathrm{(\mathit{t})}$的互相关导致周期信号，则信号$\mathit{y}\mathrm{(\mathit{t})}$必须包含与信号$\mathit{z}\mathrm{(\mathit{t})}$频率相同的周期分量。通过这种方式，我们可以使用互相关检测含噪声的周期信号。
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