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法学存在噪声时的周期信号检测（自相关法）
存在噪声时的周期信号检测
**噪声信号**是一种幅度变化随机的非期望信号。噪声信号与任何周期信号都不相关。
检测被噪声信号掩盖的周期信号在信号处理中非常重要。它主要用于雷达和声纳信号的检测、脑信号中周期成分的检测、海浪分析中周期成分的检测以及地球物理学的许多其他领域等。这些问题的解决方案可以通过相关技术轻松提供。因此，自相关函数可用于检测被噪声信号掩盖的周期信号。
假设$\mathit{x}\mathrm{(t)}$是一个周期信号，$\mathit{n}\mathrm{(t)}$是噪声信号。则信号$\mathit{x}\mathrm{(t)}$和$\mathit{n}\mathrm{(t)}$的相关函数由下式给出：
$$\mathit{R_\mathit{xn}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathit{x}\mathrm{(t)}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t-\mathit{\tau}})}\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\mathrm{0}; \:\:\:\: (对所有\:\mathit{\tau})$$
通过自相关检测周期信号
如果周期信号$\mathit{x}\mathrm{(t)}$与噪声信号$\mathit{n}\mathrm{(t)}$混合。则接收到的信号由下式给出：
$$\mathit{y}\mathrm{(t)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{(t)}\mathrm{+}\mathit{n}\mathrm{(t)}$$
接收到的信号$\mathit{y}\mathrm{(\mathit{t})}$也是一个周期信号。
此外，设信号$\mathit{y}\mathrm{(\mathit{t})}$，$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$和$\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}$的自相关函数如下所示：
$$\mathit{y}\mathrm{(t)} \:\leftrightarrow\:\mathit{R_{yy}}\mathrm{(\tau)}$$ $$\mathit{x}\mathrm{(t)} \:\leftrightarrow\:\mathit{R_{xx}}\mathrm{(\tau)}$$ $$\mathit{n}\mathrm{(t)} \:\leftrightarrow\:\mathit{R_{nn}}\mathrm{(\tau)}$$
然后，根据周期信号自相关函数的定义，我们有：
$$\mathit{R_\mathit{yy}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathit{y}\mathrm{(t)}\mathit{y}\mathrm{(\mathit{t-\mathit{\tau)}}}\mathit{dt}$$ $$\Rightarrow\mathit{R_\mathit{yy}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(t)}\mathrm{+}\mathit{n}\mathrm{(t)}]}\mathrm{}[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}]\mathrm{+}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}]\:\mathit{dt}$$ $$\Rightarrow\mathit{R_\mathit{yy}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathrm{+}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathrm{+}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathrm{+}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{dt}$$ $$\Rightarrow\mathit{R_\mathit{yy}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{dt}\mathrm{+}\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{dt}\mathrm{+}\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{dt}\mathrm{+}\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{dt}$$ $$\therefore\mathit{R_{yy}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\mathit{R_{xx}}\mathrm{(\tau)}\mathrm{+}\mathit{R_{nn}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\mathrm{+}\mathit{R_{xn}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\mathrm{+}\mathit{R_{nx}}\mathrm{(\mathit{\tau})}$$
由于周期信号$\mathit{x}\mathrm{(t)}$和噪声信号$\mathit{n}\mathrm{(t)}$不相关。因此，
$$\mathit{R_{xn}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=} \:\mathit{R_{nx}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\mathrm{= 0}$$ $$\therefore\mathit{R_{yy}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\mathit{R_{xx}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\mathrm{+}\mathit{R_{nn}}\mathrm{(\mathit{\tau})}$$
因此，混合信号的自相关$\mathit {R_{yy}}\mathrm{(\mathit{\tau})}$有两个分量，即$\mathit{R_{xx}}\mathrm{(\mathit{\tau})}$和$\mathit{R_{nn}}\mathrm{(\mathit{\tau})}$。由于周期函数的自相关也是相同频率的周期函数，而非周期函数的自相关对于较大的延迟参数$\mathrm{(\mathit{\tau})}$趋于零。
由于在我们的例子中，信号$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$是周期信号，噪声信号$\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}$是非周期信号。因此，自相关函数$\mathit {R_{xx}}\mathrm{(\mathit{\tau})}$是周期函数，而自相关函数$\mathit {R_{nn}}\mathrm{(\mathit{\tau})}$对于参数$\tau$的较大值变得非常小。因此，对于参数$\mathrm{(\mathit{\tau})}$的较大值，我们有：
$$\therefore\mathit{R_{yy}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\mathrm{=}\mathit{R_{xx}}\mathrm{(\mathit{\tau})}$$
因此，通过这种方式，任何周期信号都可以通过自相关在噪声信号存在的情况下被检测到。
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