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法学周期信号的傅里叶级数表示
什么是傅里叶级数？
在工程领域，大多数现象本质上是周期性的，例如交流电流和电压。这些周期函数可以通过称为**傅里叶级数**的过程分解为其组成部分进行分析。
因此，傅里叶级数可以定义如下：
“用正交函数（即正弦和余弦函数）的线性组合表示一定时间间隔内周期信号的方法称为**傅里叶级数**。”
傅里叶级数仅适用于周期信号，即在 $(-\infty\:to\:\infty)$ 区间内周期性重复的信号，它不能应用于非周期信号。然而，并非所有周期信号都可以用傅里叶级数表示。信号的傅里叶级数分析也称为**谐波分析**。
傅里叶级数的表示
信号的傅里叶级数表示可能有以下三种形式：
三角形式
在三角傅里叶级数表示中，正交函数是三角函数，即：
$$\mathrm{x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:n\omega_{0} t+b_{n}\:sin\:n\omega_{0} t}$$
余弦形式
$x(t)$ 的余弦表示为：
$$\mathrm{x(t)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}[cos(n\omega_{0} t+\theta_{n})]}$$
指数形式
在指数傅里叶级数表示中，正交函数是指数函数，即：
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}}$$
狄利克雷条件（傅里叶级数存在的条件）
一位_德国数学家狄利克雷_定义了傅里叶级数存在的条件。如果周期信号 x(t) 满足称为狄利克雷条件的条件，则可以用傅里叶级数表示。这些条件如下：
$x(t)$ 必须是单值函数。
$x(t)$ 具有有限数量的不连续点。
$x(t)$ 只有有限数量的最大值和最小值。
$x(t)$ 在一个周期内是绝对可积的，即：
$$\mathrm{\int_{0}^{T}x(t)\:dt<\infty}$$
这四个条件是充分条件，但不是周期函数 x(t) 的傅里叶级数存在的必要条件。这里，_第四个条件称为弱狄利克雷条件_。
如果一个函数满足弱狄利克雷条件，则保证该函数的傅里叶级数的存在，但傅里叶级数可能并非在每一点都收敛。
_第二个和第三个条件称为强狄利克雷条件_。如果函数满足这两个条件，则级数的收敛性也得到保证。
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