信号与系统 – 复指数傅里叶级数

指数傅里叶级数

周期信号在一定时间间隔内表示为正交函数的线性组合。如果这些正交函数是指数函数，则该函数的傅里叶级数表示称为指数傅里叶级数。

指数傅里叶级数是傅里叶级数中最广泛使用的形式。在这种表示中，周期函数x(t)表示为复指数函数的加权和。复指数傅里叶级数是傅里叶级数的简便且紧凑的形式，因此在通信理论中得到了广泛的应用。

解释

设一组复指数函数为：

$$\mathrm{\left \{e^{jn\omega_{0}t},n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,....\right \}}$$

这组指数函数在任何𝑡₀值的时间间隔[𝑡₀, (𝑡₀ + 𝑇)]上构成一个闭合正交集。因此，它可以用作傅里叶级数。这里，参数T是函数的周期，由下式给出：

$$\mathrm{T=\frac{2\pi}{\omega_{0}}}$$

周期函数的余弦傅里叶级数定义为：

$$\mathrm{x(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos(n\omega_{0}t+\theta_n)\:\:\:\:....(1)}$$

现在，利用欧拉公式，我们可以写成：

$$\mathrm{A_n\cos(n\omega_{0}t+\theta_n)=A_n[\frac{e^{j(n\omega_{0}t+\theta_n)}+e^{-j(n\omega_{0}t+\theta_n)}}{2}]\:\:\:\:.....(2)}$$

由公式(1)和(2)，我们得到：

$$\mathrm{x(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n[\frac{e^{j(n\omega_0t+\theta_n)}+e^{-j(n\omega_0t+\theta_n})}{2}] }$$

$$\mathrm{\Rightarrow x(t)= A_0+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{A_n}{2}[e^{jn \omega_0t}e^{j\theta_n}+e^{-jn \omega_0t}e^{-j\theta_n}]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{A_n}{2}e^{jn \omega_0t}e^{j\theta_n}]+\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{A_n}{2}e^{-jn \omega_0t}e^{-j\theta_n}]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{A_n}{2}e^{j\theta_n}]e^{jn\omega_0t} + \sum_{n=1}^{\infty}[\frac{A_n}{2}e^{-j\theta_n}]e^{-jn\omega_0t}\:\:\:\:\:......(3)}$$

现在，在公式(3)的第二个求和项中用(−𝑚)替换𝑛，我们得到：

$$\mathrm{\Rightarrow x(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{A_n}{2}e^{j\theta_n}]e^{jn\omega_0t} + \sum_{m=-1}^{-\infty}[\frac{A_m}{2}e^{j\theta_m}]e^{jm\omega_0t}\:\:\:\:........(4)}$$

比较公式(3)和(4)，我们有

$$\mathrm{A_n=A_m\:and\:(-\theta_n)=\theta_m\:for\:n>0\: \&\:k<0}$$

现在，让我们定义指数傅里叶系数为：

$$\mathrm{C_0=A_0\:and\:C_n=\frac{A_n}{2}e^{j\theta_n}\:for\:n> 0}$$

因此，公式(4)可以写成：

$$\mathrm{\Rightarrow x(t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}[\frac{A_n}{2}e^{j\theta_n}]e^{jn\omega_0t} + \sum_{n=-1}^{-\infty}[\frac{A_n}{2}e^{j\theta_n}]e^{jn\omega_0t}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{jn\omega_{0}t}\:\:\:\:.....(5)}$$

公式(5)中的表达式称为傅里叶级数的指数形式。它也称为合成方程。

Manish Kumar Saini

更新于: 2021-12-06

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