单位冲激函数、常数幅度和复指数函数的傅里叶变换

傅里叶变换

连续时间函数$x(t)$的傅里叶变换定义为：

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$

单位冲激函数的傅里叶变换

单位冲激函数定义为：

$$\mathrm{\delta(t)=\begin{cases}1 & t=0 \\ 0 & t ≠ 0 \end{cases}}$$

如果已知

$$\mathrm{x(t)=\delta(t)}$$

则根据傅里叶变换的定义，我们有：

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{−\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-j\omega t}dt}$$

由于冲激函数仅在t=0时存在。因此，

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}\delta(t) e^{-j\omega t}dt=\int_{−\infty}^{\infty}1\cdot e^{-j\omega t}dt=e^{-j\omega t}|_{t=0}=1}$$

$$\mathrm{\therefore\:F[\delta(t)]=1\:\:或\:\:\delta(t) \overset{FT}{\leftrightarrow}1}$$

也就是说，*单位冲激函数的傅里叶变换为1*。

单位冲激函数的傅里叶变换的幅度和相位表示如下：

$$\mathrm{幅度,|X(\omega)|=1;\:\:对所有\:\omega}$$

$$\mathrm{相位,\angle X(\omega)=0;\:\:对所有\:\omega}$$

冲激函数及其幅度和相位谱的图形表示如图所示。（此处应插入图片）

常数幅度的傅里叶变换

如果函数给出为

$$\mathrm{x(t)=1}$$

则函数$X(t)$为常数函数，它不是绝对可积的，因此不能直接求其傅里叶变换。因此，$X(t)=1$的傅里叶变换是通过冲激函数$[\delta(\omega)]$的反傅里叶变换确定的。

根据反傅里叶变换的定义，我们有：

$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega}$$

令

$$\mathrm{X(\omega)=\delta(\omega)}$$

其中，

$$\mathrm{\delta(\omega)=\begin{cases}1 & \omega=0 \\ 0 & \omega ≠ 0\end{cases}}$$

$$\mathrm{\therefore\:x(t)=F^{-1}[X(\omega)]=F^{-1}[\delta(\omega)]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}\delta(\omega)e^{j\omega t}d\omega=\frac{1}{2\pi}\cdot(1)=\frac{1}{2\pi}}$$

$$\mathrm{\therefore\:F^{-1}[\delta(\omega)]=\frac{1}{2\pi}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:F^{-1}[2\pi\delta(\omega)]=1}$$

因此，常数函数的傅里叶变换为：

$$\mathrm{F[1]=2\pi\delta(\omega)\:或\:\:1\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi\delta(\omega)}$$

当常数函数的幅度为A时，该函数的傅里叶变换变为

$$\mathrm{A\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi A\delta(\omega)}$$

复指数函数的傅里叶变换

将复指数函数视为：

$$\mathrm{x(t)=e^{j\omega_{0}t}}$$

不能直接求出复指数函数的傅里叶变换。为了求出复指数函数$x(t)$的傅里叶变换，考虑求频域中移位冲激函数$[\delta(\omega-\omega_{0})]$的反傅里叶变换。

令

$$\mathrm{X(\omega)=\delta(\omega-\omega_{0})}$$

然后，根据反傅里叶变换的定义，我们有：

$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d{\omega}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=F^{-1}[X(\omega)]=F^{-1}[\delta(\omega-\omega_{0})]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}\delta(\omega-\omega_{0})e^{j\omega t}d{\omega}=\frac{1}{2\pi}e^{j\omega_{0} t}}$$

因此，$\delta(\omega-\omega_{0})$的反傅里叶变换为：

$$\mathrm{F^{-1}[\delta(\omega-\omega_{0})]=\frac{1}{2\pi}e^{j\omega_{0} t}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:F^{-1}[2\pi\delta(\omega-\omega_{0})]=e^{j\omega_{0} t}}$$

因此，*复指数函数的傅里叶变换由下式给出：*

$$\mathrm{[e^{j\omega_{0} t}]=2\pi\delta(\omega-\omega_{0})}$$

或者，它也可以表示为：

$$\mathrm{e^{j\omega_{0} t}\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi\delta(\omega-\omega_{0})}$$

Saini Manish Kumar

更新于：2021年12月9日

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