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法学单位冲激函数、常数幅度和复指数函数的傅里叶变换
傅里叶变换
连续时间函数x(t)的傅里叶变换定义为：
X(ω)=∫∞−∞x(t)e−jωtdt
单位冲激函数的傅里叶变换
单位冲激函数定义为：
δ(t)={1t=00t≠0
如果已知
x(t)=δ(t)
则根据傅里叶变换的定义，我们有：
X(ω)=∫∞−∞x(t)e−jωtdt=∫∞−∞δ(t)e−jωtdt
由于冲激函数仅在t=0时存在。因此，
X(ω)=∫∞−∞δ(t)e−jωtdt=∫∞−∞1⋅e−jωtdt=e−jωt|t=0=1
∴
也就是说，*单位冲激函数的傅里叶变换为1*。
单位冲激函数的傅里叶变换的幅度和相位表示如下：
\mathrm{幅度,|X(\omega)|=1;\:\:对所有\:\omega}
\mathrm{相位,\angle X(\omega)=0;\:\:对所有\:\omega}
冲激函数及其幅度和相位谱的图形表示如图所示。（此处应插入图片）
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常数幅度的傅里叶变换
如果函数给出为
\mathrm{x(t)=1}
则函数X(t)为常数函数，它不是绝对可积的，因此不能直接求其傅里叶变换。因此，X(t)=1的傅里叶变换是通过冲激函数[\delta(\omega)]的反傅里叶变换确定的。
根据反傅里叶变换的定义，我们有：
\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega}
令
\mathrm{X(\omega)=\delta(\omega)}
其中，
\mathrm{\delta(\omega)=\begin{cases}1 & \omega=0 \\ 0 & \omega ≠ 0\end{cases}}
\mathrm{\therefore\:x(t)=F^{-1}[X(\omega)]=F^{-1}[\delta(\omega)]}
\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}\delta(\omega)e^{j\omega t}d\omega=\frac{1}{2\pi}\cdot(1)=\frac{1}{2\pi}}
\mathrm{\therefore\:F^{-1}[\delta(\omega)]=\frac{1}{2\pi}}
\mathrm{\Rightarrow\:F^{-1}[2\pi\delta(\omega)]=1}
因此，常数函数的傅里叶变换为：
\mathrm{F[1]=2\pi\delta(\omega)\:或\:\:1\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi\delta(\omega)}
当常数函数的幅度为A时，该函数的傅里叶变换变为
\mathrm{A\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi A\delta(\omega)}
复指数函数的傅里叶变换
将复指数函数视为：
\mathrm{x(t)=e^{j\omega_{0}t}}
不能直接求出复指数函数的傅里叶变换。为了求出复指数函数x(t)的傅里叶变换，考虑求频域中移位冲激函数[\delta(\omega-\omega_{0})]的反傅里叶变换。
令
\mathrm{X(\omega)=\delta(\omega-\omega_{0})}
然后，根据反傅里叶变换的定义，我们有：
\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d{\omega}}
\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=F^{-1}[X(\omega)]=F^{-1}[\delta(\omega-\omega_{0})]}
\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}\delta(\omega-\omega_{0})e^{j\omega t}d{\omega}=\frac{1}{2\pi}e^{j\omega_{0} t}}
因此，\delta(\omega-\omega_{0})的反傅里叶变换为：
\mathrm{F^{-1}[\delta(\omega-\omega_{0})]=\frac{1}{2\pi}e^{j\omega_{0} t}}
\mathrm{\Rightarrow\:F^{-1}[2\pi\delta(\omega-\omega_{0})]=e^{j\omega_{0} t}}
因此，*复指数函数的傅里叶变换由下式给出：*
\mathrm{[e^{j\omega_{0} t}]=2\pi\delta(\omega-\omega_{0})}
或者，它也可以表示为：
\mathrm{e^{j\omega_{0} t}\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi\delta(\omega-\omega_{0})}
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