拉普拉斯变换和傅里叶变换的区别

在工程分析中，复杂的数学建模物理系统通过使用**积分变换**转换为更简单、可求解的模型。模型求解后，使用逆积分变换以原始形式提供解。

两种最常用的积分变换是 – **拉普拉斯变换** 和 **傅里叶变换**。在这两种变换中，用微分方程表示的物理系统被转换为代数方程或更容易求解的低阶微分方程。因此，拉普拉斯变换和傅里叶变换使问题更容易解决。

在本文中，我们将学习**拉普拉斯变换和傅里叶变换之间的重要区别**。让我们从一些基础知识开始，以便更容易理解它们之间的区别。

什么是拉普拉斯变换？

**拉普拉斯变换**是一种数学工具，用于将表示线性时不变系统的时间域微分方程转换为频域的代数方程。

从数学上讲，时间域函数 $\mathrm{x\:(\:t\:)}$ 的拉普拉斯变换定义为 –

$$\mathrm{L\:[x\:(t)]\:=\:X\:(s)\:=\:\int_{-\:\infty}^{\infty}\:x\:(t)\:e^{-st}\:dt}$$

其中，s 是一个复变量，由下式给出：

$$\mathrm{s\:=\:\sigma\:+\:j\:\omega}$$

算子 L 称为拉普拉斯变换算子，它将时间域函数 $\mathrm{x\:(\:t\:)}$ 转换为频域函数 $\mathrm{X\:(\:s\:)}$。

**傅里叶变换**是一种变换技术，它将信号从连续时间域转换为相应的频域，反之亦然。从数学上讲，连续时间信号 $\mathrm{x\:(\:t\:)}$ 的傅里叶变换定义为 –

$$\mathrm{F\:[x\:(t)]\:=\:X\:(\omega)\:=\:\int_{-\:\infty}^{\infty}\:x\:(t)\:e^{-j\:\omega\:t}\:dt}$$

因此，傅里叶变换用于分析频域中的函数。但是，傅里叶变换仅针对所有实数定义的函数定义。此外，它不能用于分析不稳定的系统。

下表重点介绍了拉普拉斯变换和傅里叶变换之间的主要区别 –

拉普拉斯变换	傅里叶变换
函数 x(t) 的拉普拉斯变换可以表示为形式为 e^st 的复指数衰减波的连续和。	函数 x(t) 的傅里叶变换可以表示为形式为 e^jωt 的指数函数的连续和。
拉普拉斯变换用于求解描述系统输入和输出的微分方程。	傅里叶变换也用于求解描述系统输入和输出的微分方程。
拉普拉斯变换可用于分析不稳定系统。	傅里叶变换不能用于分析不稳定系统。
拉普拉斯变换不需要函数针对一组负实数定义。	傅里叶变换仅针对所有实数定义的函数定义。
每个具有傅里叶变换的函数都存在拉普拉斯变换。	另一方面，并非每个具有拉普拉斯变换的函数都具有傅里叶变换。
拉普拉斯变换被广泛用于求解微分方程，因为即使对于傅里叶变换不存在的信号，拉普拉斯变换也存在。	傅里叶变换很少用于求解微分方程，因为对于许多信号，傅里叶变换不存在。例如 \|x(t)\|，因为它不是绝对可积的。
拉普拉斯变换具有收敛因子，因此它更通用。	傅里叶变换没有任何收敛因子。
信号 x(t) 的拉普拉斯变换等效于信号 x(t)e^-σt 的傅里叶变换。	傅里叶变换等效于沿 s 平面虚轴计算的拉普拉斯变换。

拉普拉斯变换和傅里叶变换之间最显著的区别在于，拉普拉斯变换将时间域函数转换为 s 域函数，而傅里叶变换将时间域函数转换为频域函数。此外，傅里叶变换仅针对所有实数定义的函数定义，但拉普拉斯变换不需要函数针对一组负实数定义。

Kiran Kumar Panigrahi

更新于： 2023-11-07

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