傅里叶变换

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傅里叶级数的主要缺点是，它仅适用于周期信号。一些自然产生的信号，例如非周期或非周期信号，我们无法使用傅里叶级数来表示。为了克服这一缺点，傅里叶开发了一个数学模型，用于在时域（或空间域）和频域之间转换信号，反之亦然，这被称为“傅里叶变换”。

傅里叶变换在物理学和工程学中有很多应用，例如线性时不变系统的分析、雷达、天文学、信号处理等。

从傅里叶级数推导傅里叶变换

考虑一个周期为T的周期信号f(t)。f(t)的复傅里叶级数表示为

$$f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t}$$

$$\quad \quad \quad \quad \quad = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j {2\pi \over T_0} kt} ... ... (1)$$

令${1 \over T_0} = \Delta f$，则公式1变为

$f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j2\pi k \Delta ft} ... ... (2)$

但你知道

$a_k = {1\over T_0} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-j k\omega_0 t} dt$

代入公式2。

(2) $\Rightarrow f(t) = \Sigma_{k=-\infty}^{\infty} {1 \over T_0} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-j k\omega_0 t} dt\, e^{j2\pi k \Delta ft}$

令$t_0={T\over2}$

$= \Sigma_{k=-\infty}^{\infty} [ \int_{-T\over2}^{T\over2} f(t) e^{-j2 \pi k \Delta ft} dt ] \, e^{j2 \pi k \Delta ft}.\Delta f$

当$T \to \infty$时，$\Delta f$接近微分$df$，$k \Delta f$变为连续变量$f$，求和变为积分

$$f(t) = lim_{T \to \infty} ⁡\left\{ \Sigma_{k=-\infty}^{\infty} [ \int_{-T\over2}^{T\over2} f(t) e^{-j2 \pi k \Delta ft} dt ] \, e^{j2 \pi k \Delta ft}.\Delta f \right\}$$

$$= \int_{-\infty}^{\infty} [ \int_{-\infty}^{\infty}\,f(t) e^{-j2\pi ft} dt] e^{j2\pi ft} df$$

$$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\, F[\omega] e^{j\omega t} d \omega$$

$\text{其中}\,F[\omega] = [ \int_{-\infty}^{\infty}\, f(t) e^{-j2 \pi ft} dt]$

基本函数的傅里叶变换

让我们了解一下基本函数的傅里叶变换

门函数的傅里叶变换

$$F[\omega] = AT Sa({\omega T \over 2})$$

冲激函数的傅里叶变换

$FT [\omega(t) ] = [\int_{- \infty}^{\infty} \delta (t) e^{-j\omega t} dt]$

$\quad \quad \quad \quad = e^{-j\omega t}\, |\, t = 0$

$\quad \quad \quad \quad = e^{0} = 1$

$\quad \therefore \delta (\omega) = 1$

单位阶跃函数的傅里叶变换

$U(\omega) = \pi \delta (\omega)+1/j\omega$

指数函数的傅里叶变换

$e^{-at}u(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} 1/(a+jω)$

$e^{-at}u(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} 1/(a+j\omega )$

$e^{-a\,|\,t\,|} \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} {2a \over {a^2+ω^2}}$

$e^{j \omega_0 t} \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} \delta (\omega - \omega_0)$

符号函数的傅里叶变换

$sgn(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} {2 \over j \omega }$

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傅里叶变换存在的条件

只有当函数满足狄利克雷条件时，任何函数f(t)才能用傅里叶变换表示。即

• 函数f(t)具有有限个最大值和最小值。

• 在给定的时间间隔内，信号f(t)必须具有有限个不连续点。

• 它在给定的时间间隔内必须是绝对可积的，即

  $\int_{-\infty}^{\infty}\, |\, f(t) | \, dt < \infty$

离散时间傅里叶变换 (DTFT)

离散时间傅里叶变换（DTFT）或离散时间序列x[n]的傅里叶变换是根据复指数序列$e^{j\omega n}$表示该序列。

DTFT序列x[n]由下式给出

$$X(\omega) = \Sigma_{n= -\infty}^{\infty} x(n)e^{-j \omega n} \,\, ...\,... (1)$$

这里，X(ω)是实频率变量ω的复函数，可以写成

$$X(\omega) = X_{re}(\omega) + jX_{img}(\omega)$$

其中X_re(ω)，X_img(ω)分别是X(ω)的实部和虚部。

$$X_{re}(\omega) = |\, X(\omega) | \cos\theta(\omega)$$

$$X_{img}(\omega) = |\, X(\omega) | \sin\theta(\omega)$$

$$|X(\omega) |^2 = |\, X_{re} (\omega) |^2+ |\,X_{im} (\omega) |^2$$

并且X(ω)也可以表示为$X(\omega) = |\,X(\omega) | e^{j\theta (ω)}$

其中$\theta(\omega) = arg{X(\omega) }$

$|\,X(\omega) |, \theta(\omega)$称为X(ω)的幅度谱和相位谱。

离散时间傅里叶逆变换

$$x(n) = { 1 \over 2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(\omega) e^{j \omega n} d\omega \,\, ...\,... (2)$$

收敛条件

公式1中的无限级数可能收敛也可能不收敛。x(n)是绝对可和的。

$$\text{当}\,\, \sum_{n=-\infty}^{\infty} |\, x(n)|\, < \infty$$

绝对可和序列总是具有有限能量，但有限能量序列不一定是绝对可和的。