傅里叶级数类型

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三角傅里叶级数 (TFS)

$\sin n\omega_0 t$ 和 $\sin m\omega_0 t$ 在区间 $(t_0, t_0+{2\pi \over \omega_0})$ 上是正交的。因此 $\sin\omega_0 t,\, \sin 2\omega_0 t$ 构成一个正交集。如果没有 {$\cos n\omega_0 t$ }，这个集合是不完整的，因为余弦集也与正弦集正交。为了使这个集合完整，我们必须同时包含余弦项和正弦项。现在完整的正交集包含所有余弦项和正弦项，即 {$\sin n\omega_0 t,\,\cos n\omega_0 t$ }，其中 n=0, 1, 2...

$\therefore$ 区间 $(t_0, t_0+{2\pi \over \omega_0})$ 内的任何函数 x(t) 都可以表示为

$$ x(t) = a_0 \cos0\omega_0 t+ a_1 \cos⁡ 1\omega_0 t+ a_2 \cos2 ⁡\omega_0 t +...+ a_n \cos⁡ n\omega_0 t + ... $$

$$ + b_0 \sin⁡ 0\omega_0 t + b_1 \sin⁡ 1\omega_0 t +...+ b_n \sin⁡ n\omega_0 t + ... $$

$$ = a_0 + a_1 \cos⁡ 1\omega_0 t + a_2 \cos 2⁡ \omega_0 t +...+ a_n \cos⁡ n\omega_0 t + ...$$

$$ + b_1 \sin⁡ 1\omega_0 t +...+ b_n \sin⁡ n\omega_0 t + ...$$

$$ \therefore x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos⁡ n\omega_0 t + b_n \sin⁡ n\omega_0 t ) \quad (t_0< t < t_0+T)$$

上式表示 x(t) 的三角傅里叶级数表示。

$$ \text{其中} \,a_0 = {\int_{t_0}^{t_0+T} x(t)·1 dt \over \int_{t_0}^{t_0+T} 1^2 dt} = {1 \over T}· \int_{t_0}^{t_0+T} x(t)dt $$

$$a_n = {\int_{t_0}^{t_0+T} x(t)· \cos⁡ n\omega_0 t\,dt \over \int_{t_0}^{t_0+T} \cos ^2 n\omega_0 t\, dt}$$

$$b_n = {\int_{t_0}^{t_0+T} x(t)· \sin n\omega_0 t\,dt \over \int_{t_0}^{t_0+T} \sin ^2 n\omega_0 t\, dt}$$

$$ \text{这里}\, \int_{t_0}^{t_0+T} \cos ^2 n\omega_0 t\, dt = \int_{t_0}^{t_0+T} \sin ^2 n\omega_0 t\, dt = {T\over 2}$$

$$ \therefore a_n = {2\over T}· \int_{t_0}^{t_0+T} x(t)· \cos⁡ n\omega_0 t\,dt$$

$$b_n = {2\over T}· \int_{t_0}^{t_0+T} x(t)· \sin n\omega_0 t\,dt$$

指数傅里叶级数 (EFS)

考虑一组复指数函数 $\left\{e^{jn\omega_0 t}\right\} (n=0, \pm1, \pm2...)$，它在区间 $(t_0, t_0+T)$ 上是正交的。其中 $T={2\pi \over \omega_0}$。这是一个完整的集合，因此可以像下面所示那样表示任何函数 f(t)

$ f(t) = F_0 + F_1e^{j\omega_0 t} + F_2e^{j 2\omega_0 t} + ... + F_n e^{j n\omega_0 t} + ...$

$\quad \quad \,\,F_{-1}e^{-j\omega_0 t} + F_{-2}e^{-j 2\omega_0 t} +...+ F_{-n}e^{-j n\omega_0 t}+...$

$$ \therefore f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{j n\omega_0 t} \quad \quad (t_0< t < t_0+T) ....... (1) $$

公式 (1) 表示信号 f(t) 在区间 (t₀, t₀+T) 上的指数傅里叶级数表示。傅里叶系数计算如下：

$$ F_n = {\int_{t_0}^{t_0+T} f(t) (e^{j n\omega_0 t} )^* dt \over \int_{t_0}^{t_0+T} e^{j n\omega_0 t} (e^{j n\omega_0 t} )^* dt} $$

$$ \quad = {\int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-j n\omega_0 t} dt \over \int_{t_0}^{t_0+T} e^{-j n\omega_0 t} e^{j n\omega_0 t} dt} $$

$$ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \,\, = {\int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-j n\omega_0 t} dt \over \int_{t_0}^{t_0+T} 1\, dt} = {1 \over T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-j n\omega_0 t} dt $$

$$ \therefore F_n = {1 \over T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-j n\omega_0 t} dt $$

三角傅里叶级数和指数傅里叶级数之间的关系

考虑一个周期信号 x(t)，其 TFS 和 EFS 表示分别如下所示

$ x(t) = a_0 + \Sigma_{n=1}^{\infty}(a_n \cos⁡ n\omega_0 t + b_n \sin⁡ n\omega_0 t) ... ... (1)$

$ x(t) = \Sigma_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{j n\omega_0 t}$

$\quad \,\,\, = F_0 + F_1e^{j\omega_0 t} + F_2e^{j 2\omega_0 t} + ... + F_n e^{j n\omega_0 t} + ... $

$\quad \quad \quad \quad F_{-1} e^{-j\omega_0 t} + F_{-2}e^{-j 2\omega_0 t} + ... + F_{-n}e^{-j n\omega_0 t} + ... $

$ = F_0 + F_1(\cos \omega_0 t + j \sin\omega_0 t) + F_2(cos 2\omega_0 t + j \sin 2\omega_0 t) + ... + F_n(\cos n\omega_0 t+j \sin n\omega_0 t)+ ... + F_{-1}(\cos\omega_0 t-j \sin\omega_0 t) + F_{-2}(\cos 2\omega_0 t-j \sin 2\omega_0 t) + ... + F_{-n}(\cos n\omega_0 t-j \sin n\omega_0 t) + ... $

$ = F_0 + (F_1+ F_{-1}) \cos\omega_0 t + (F_2+ F_{-2}) \cos2\omega_0 t +...+ j(F_1 - F_{-1}) \sin\omega_0 t + j(F_2 - F_{-2}) \sin2\omega_0 t+... $

$ \therefore x(t) = F_0 + \Sigma_{n=1}^{\infty}( (F_n +F_{-n} ) \cos n\omega_0 t+j(F_n-F_{-n}) \sin n\omega_0 t) ... ... (2) $

比较公式 (1) 和 (2)。

$a_0= F_0$

$a_n=F_n+F_{-n}$

$b_n = j(F_n-F_{-n} )$

类似地，

$F_n = \frac12 (a_n - jb_n )$

$F_{-n} = \frac12 (a_n + jb_n )$