系统分类

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系统可分为以下几类：

• 线性系统和非线性系统
• 时变系统和时不变系统
• 线性时变系统和线性时不变系统
• 静态系统和动态系统
• 因果系统和非因果系统
• 可逆系统和不可逆系统
• 稳定系统和不稳定系统

线性系统和非线性系统

当系统满足叠加原理和齐次性原理时，则称该系统为线性系统。考虑两个系统，其输入分别为x₁(t), x₂(t)，输出分别为y₁(t), y₂(t)。则根据叠加原理和齐次性原理：

T [a₁ x₁(t) + a₂ x₂(t)] = a₁ T[x₁(t)] + a₂ T[x₂(t)]

$\therefore, $ T [a₁ x₁(t) + a₂ x₂(t)] = a₁ y₁(t) + a₂ y₂(t)

从上述表达式可以看出，整个系统的响应等于各个子系统的响应之和。

示例

y(t) = x²(t)

解答

y₁ (t) = T[x₁(t)] = x₁²(t)

y₂ (t) = T[x₂(t)] = x₂²(t)

T [a₁ x₁(t) + a₂ x₂(t)] = [ a₁ x₁(t) + a₂ x₂(t)]²

这并不等于 a₁ y₁(t) + a₂ y₂(t)。因此，该系统为非线性系统。

时变系统和时不变系统

如果系统的输入和输出特性随时间变化，则称该系统为时变系统。否则，该系统被认为是时不变系统。

时不变系统的条件是：

y (n , t) = y(n-t)

时变系统的条件是：

y (n , t) $\neq$ y(n-t)

其中 y (n , t) = T[x(n-t)] = 输入变化

y (n-t) = 输出变化

示例

y(n) = x(-n)

y(n, t) = T[x(n-t)] = x(-n-t)

y(n-t) = x(-(n-t)) = x(-n + t)

$\therefore$ y(n, t) ≠ y(n-t)。因此，该系统是时变系统。

线性时变(LTV)系统和线性时不变(LTI)系统

如果一个系统既是线性的又是时变的，则称其为线性时变(LTV)系统。

如果一个系统既是线性的又是时不变的，则称其为线性时不变(LTI)系统。

静态系统和动态系统

静态系统是无记忆的，而动态系统是有记忆的。

示例1： y(t) = 2 x(t)

对于当前值 t=0，系统输出为 y(0) = 2x(0)。这里，输出仅依赖于当前输入。因此，该系统是无记忆的或静态的。

示例2： y(t) = 2 x(t) + 3 x(t-3)

对于当前值 t=0，系统输出为 y(0) = 2x(0) + 3x(-3)。

这里 x(-3) 是当前输入的过去值，系统需要记忆才能得到这个输出。因此，该系统是一个动态系统。

因果系统和非因果系统

如果一个系统的输出取决于当前和过去的输入，而不取决于未来的输入，则称该系统为因果系统。

对于非因果系统，输出也取决于未来的输入。

示例1： y(n) = 2 x(t) + 3 x(t-3)

对于当前值 t=1，系统输出为 y(1) = 2x(1) + 3x(-2)。

这里，系统输出仅取决于当前和过去的输入。因此，该系统是因果系统。

示例2： y(n) = 2 x(t) + 3 x(t-3) + 6x(t + 3)

对于当前值 t=1，系统输出为 y(1) = 2x(1) + 3x(-2) + 6x(4)。这里，系统输出取决于未来的输入。因此，该系统是非因果系统。

可逆系统和不可逆系统

如果系统的输入出现在输出端，则称该系统为可逆系统。

Y(S) = X(S) H1(S) H2(S)

= X(S) H1(S) · $1 \over ( H1(S) )$       因为 H2(S) = 1/( H1(S) )

$\therefore, $ Y(S) = X(S)

$\to$ y(t) = x(t)

因此，该系统是可逆的。

如果 y(t) $\neq$ x(t)，则称该系统为不可逆系统。

稳定系统和不稳定系统

只有当有界输入对应有界输出时，系统才是稳定的。对于有界输入，如果系统的输出是无界的，则称其为不稳定的。

注意：对于有界信号，幅度是有限的。

示例1： y (t) = x²(t)

如果输入为 u(t)（单位阶跃有界输入），则输出 y(t) = u2(t) = u(t) = 有界输出。

因此，该系统是稳定的。

示例2： y (t) = $\int x(t)\, dt$

如果输入为 u (t)（单位阶跃有界输入），则输出 y(t) = $\int u(t)\, dt$ = 斜坡信号（无界，因为斜坡的幅度不是有限的，当 t $\to$ 无穷大时，它趋于无穷大）。

因此，该系统是不稳定的。