收敛域 (ROC)

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使拉普拉斯变换收敛的σ的取值范围称为收敛域。

拉普拉斯变换收敛域的性质

• ROC在s平面包含平行于jω轴的条带。

  

• 如果x(t)是绝对可积的且是有限持续时间的，则ROC是整个s平面。

• 如果x(t)是右侧序列，则ROC：Re{s} > σ_o。

• 如果x(t)是左侧序列，则ROC：Re{s} < σ_o。

• 如果x(t)是双侧序列，则ROC是两个区域的组合。

可以使用以下示例来解释ROC

示例1：求x(t) = e^-atu(t)的拉普拉斯变换和ROC

L.T[x(t)] = L.T[e^-atu(t)] = 1/(s+a)

Re{s} > -a

ROC: Re{s} > -a

示例2：求x(t) = e^atu(-t)的拉普拉斯变换和ROC

L.T[x(t)] = L.T[e^atu(-t)] = 1/(s-a)

Re{s} < a

ROC: Re{s} < a

示例3：求x(t) = e^-atu(t) + e^atu(-t)的拉普拉斯变换和ROC

L.T[x(t)] = L.T[e^-atu(t) + e^atu(-t)] = 1/(s+a) + 1/(s-a)

对于1/(s+a)，Re{s} > -a

对于1/(s-a)，Re{s} < a

参考上图，组合区域位于-a到a之间。因此，

ROC: -a < Re{s} < a

因果性和稳定性

• 为了使系统具有因果性，其传递函数的所有极点必须位于s平面的右半平面。

  

• 当其传递函数的所有极点都位于s平面的左半平面时，系统被称为稳定。

  

• 当其传递函数至少有一个极点位于s平面的右半平面时，系统被称为不稳定。

  

• 当其传递函数至少有一个极点位于s平面的jω轴上时，系统被称为临界稳定。

  

基本函数的ROC