Z 变换 (ZT)

连续时间 LTI 系统的分析可以使用 z 变换进行。它是一种强大的数学工具，可以将微分方程转换为代数方程。

离散时间信号 x(n) 的双边 (双侧) z 变换表示为

$Z.T[x(n)] = X(Z) = \Sigma_{n = -\infty}^{\infty} x(n)z^{-n}$

离散时间信号 x(n) 的单边 (单侧) z 变换表示为

$Z.T[x(n)] = X(Z) = \Sigma_{n = 0}^{\infty} x(n)z^{-n}$

对于某些离散时间傅里叶变换 (DTFT) 不存在的信号，Z 变换可能存在。

Z 变换和反 Z 变换的概念

离散时间信号 x(n) 的 Z 变换可以用 X(Z) 表示，其定义为

$X(Z) = \Sigma_{n=- \infty }^ {\infty} x(n)z^{-n} \,...\,...\,(1)$

如果 $Z = re^{j\omega}$，则公式 1 变为

$X(re^{j\omega}) = \Sigma_{n=- \infty}^{\infty} x(n)[re^{j \omega} ]^{-n}$

$= \Sigma_{n=- \infty}^{\infty} x(n)[r^{-n} ] e^{-j \omega n}$

$X(re^{j \omega} ) = X(Z) = F.T[x(n)r^{-n}] \,...\,...\,(2)$

上述公式表示傅里叶变换和 Z 变换之间的关系。

$X(Z) |_{z=e^{j \omega}} = F.T [x(n)].$

反 Z 变换

$X(re^{j \omega}) = F.T[x(n)r^{-n}]$

$x(n)r^{-n} = F.T^{-1}[X(re^{j \omega}]$

$x(n) = r^n\,F.T^{-1}[X(re^{j \omega} )]$

$= r^n {1 \over 2\pi} \int X(re{^j \omega} )e^{j \omega n} d \omega$

$= {1 \over 2\pi} \int X(re{^j \omega} )[re^{j \omega} ]^n d \omega \,...\,...\,(3)$

令 $re^{j \omega} = z$。

$dz = jre^{j \omega} d \omega = jz d \omega$

$d \omega = {1 \over j }z^{-1}dz$

代入公式 3。

$3\, \to \, x(n) = {1 \over 2\pi} \int\, X(z)z^n {1 \over j } z^{-1} dz = {1 \over 2\pi j} \int \,X(z) z^{n-1} dz$