傅里叶级数

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让-巴普蒂斯特·约瑟夫·傅里叶，一位法国数学家和物理学家；出生于法国欧塞尔。他创立了傅里叶级数、傅里叶变换及其在热传递和振动问题中的应用。傅里叶级数、傅里叶变换和傅里叶定律都是以他的名字命名的。

傅里叶级数

为了表示任何周期信号x(t)，傅里叶发展了一个称为傅里叶级数的表达式。它是一个由正弦和余弦或指数函数的无穷级数表示的表达式。傅里叶级数使用正交条件。

连续时间周期信号的傅里叶级数表示

如果信号满足条件x(t) = x(t + T) 或 x(n) = x(n + N)，则称该信号为周期信号。

其中T = 基波周期，

ω₀= 基波频率 = 2π/T

有两个基本的周期信号

$x(t) = \cos\omega_0t$ (正弦波) &

$x(t) = e^{j\omega_0 t} $ (复指数)

这两个信号的周期为 $T= 2\pi/\omega_0$。

一组谐波相关的复指数可以表示为{$\phi_k (t)$}

$${ \phi_k (t)} = \{ e^{jk\omega_0t}\} = \{ e^{jk({2\pi \over T})t}\} \text{其中} \,k = 0, \pm 1, \pm 2, ..., n \,\,\,.....(1) $$

所有这些信号的周期都是T

根据正交信号空间，用n个相互正交的函数逼近函数x(t)的表达式为：

$$x(t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0t} ..... (2) $$

$$ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0t} $$

其中 $a_k$= 傅里叶系数 = 逼近系数。

该信号x(t)也是周期为T的周期信号。

公式2表示周期信号x(t)的傅里叶级数表示。

k = 0 项为常数项。

k = ±1 项具有基波频率 $\omega_0$，称为一次谐波。

k = ±2 项具有基波频率 $2\omega_0$，称为二次谐波，以此类推…

k = ±n 项具有基波频率 $n\omega_0$，称为n次谐波。

推导傅里叶系数

我们知道 $x(t) = \sum_{k=- \infty}^{\infty} a_k e^{jk \omega_0 t} ...... (1)$

两边乘以 $e^{-jn\omega_0 t}$。则

$$ x(t)e^{-jn\omega_0 t} = \sum_{k=- \infty}^{\infty} a_k e^{jk \omega_0 t} . e^{-jn\omega_0 t} $$

两边积分。

$$ \int_{0}^{T} x(t) e^{-jn\omega_0 t} dt = \int_{0}^{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk \omega_0 t} . e^{-jn\omega_0 t}dt $$

$$ \quad \quad \quad \quad \,\, = \int_{0}^{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j(k-n) \omega_0 t} . dt$$

$$ \int_{0}^{T} x(t) e^{-jn\omega_0 t} dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k \int_{0}^{T} e^{j(k-n) \omega_0 t} dt. \,\, ..... (2)$$

根据欧拉公式，

$$ \int_{0}^{T} e^{j(k-n) \omega_0 t} dt. = \int_{0}^{T} \cos(k-n)\omega_0 t dt + j \int_{0}^{T} \sin(k-n)\omega_0t\,dt$$

$$ \int_{0}^{T} e^{j(k-n) \omega_0 t} dt. = \left\{ \begin{array}{l l} T & \quad k = n \\ 0 & \quad k \neq n \end{array} \right. $$

因此，在公式2中，除了k = n时，积分对所有k的值都为零。将k = n代入公式2。

$$\Rightarrow \int_{0}^{T} x(t) e^{-jn\omega_0 t} dt = a_n T $$

$$\Rightarrow a_n = {1 \over T} \int_{0}^{T} x(t)e^{-jn\omega_0 t} dt $$

将n替换为k。

$$\Rightarrow a_k = {1 \over T} \int_{0}^{T} x(t)e^{-jk\omega_0 t} dt$$

$$\therefore x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t} $$

$$\text{其中} a_k = {1 \over T} \int_{0}^{T} x(t)e^{-jk\omega_0 t} dt $$