拉普拉斯变换 (LT)

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复数傅里叶变换也称为双边拉普拉斯变换。它用于求解微分方程。考虑一个由形式为x(t) = Ge^st的复指数信号激发的LTI系统。

其中 s = 任意复数 = $\sigma + j\omega$,

σ = s 的实部，以及

ω = s 的虚部

LTI 的响应可以通过输入与其脉冲响应的卷积得到，即

$ y(t) = x(t) \times h(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\, h (\tau)\, x (t-\tau)d\tau $

$= \int_{-\infty}^{\infty}\, h (\tau)\, Ge^{s(t-\tau)}d\tau $

$= Ge^{st}. \int_{-\infty}^{\infty}\, h (\tau)\, e^{(-s \tau)}d\tau $

$ y(t) = Ge^{st}.H(S) = x(t).H(S)$

其中 H(S) = $h(\tau)$ 的拉普拉斯变换 = $\int_{-\infty}^{\infty} h (\tau) e^{-s\tau} d\tau $

类似地，$x(t)$ 的拉普拉斯变换为 $X(S) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt\,...\,...(1)$

拉普拉斯变换和傅里叶变换之间的关系

$x(t)$ 的拉普拉斯变换为 $X(S) =\int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$

在上述等式中代入 s= σ + jω。

$→ X(\sigma+j\omega) =\int_{-\infty}^{\infty}\,x (t) e^{-(\sigma+j\omega)t} dt$

$ = \int_{-\infty}^{\infty} [ x (t) e^{-\sigma t}] e^{-j\omega t} dt $

$\therefore X(S) = F.T [x (t) e^{-\sigma t}]\,...\,...(2)$

$X(S) = X(\omega) \quad\quad for\,\, s= j\omega$

拉普拉斯逆变换

已知 $X(S) = F.T [x (t) e^{-\sigma t}]$

$\to x (t) e^{-\sigma t} = F.T^{-1} [X(S)] = F.T^{-1} [X(\sigma+j\omega)]$

$= {1\over 2}\pi \int_{-\infty}^{\infty} X(\sigma+j\omega) e^{j\omega t} d\omega$

$ x (t) = e^{\sigma t} {1 \over 2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\sigma+j\omega) e^{j\omega t} d\omega $

$= {1 \over 2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\sigma+j\omega) e^{(\sigma+j\omega)t} d\omega \,...\,...(3)$

这里，$\sigma+j\omega = s$

$jdω = ds → dω = ds/j$

$ \therefore x (t) = {1 \over 2\pi j} \int_{-\infty}^{\infty} X(s) e^{st} ds\,...\,...(4) $

公式1和4分别表示信号x(t)的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换。

拉普拉斯变换存在的条件

狄利克雷条件用于定义拉普拉斯变换的存在性，即

• 函数f(t)具有有限个最大值和最小值。

• 在给定的时间区间内，信号f(t)必须具有有限个不连续点。

• 它在给定的时间区间内必须是绝对可积的，即

  $ \int_{-\infty}^{\infty} |\,f(t)|\, dt \lt \infty $

初始值定理和终值定理

如果已知未知函数x(t)的拉普拉斯变换，则可以确定该未知信号的初始值和终值，即t=0⁺和t=∞时的x(t)。

初始值定理

叙述：如果x(t)及其一阶导数是拉普拉斯可变换的，则x(t)的初始值由下式给出

$$ x(0^+) = \lim_{s \to \infty} ⁡SX(S) $$

终值定理

叙述：如果x(t)及其一阶导数是拉普拉斯可变换的，则x(t)的终值由下式给出

$$ x(\infty) = \lim_{s \to 0} ⁡SX(S) $$