Z 变换性质

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Z 变换具有以下性质：

线性性质

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

并且 $\,y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} Y(Z)$

那么线性性质表明：

$a\, x (n) + b\, y (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} a\, X(Z) + b\, Y(Z)$

时移性质

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

那么时移性质表明：

$x (n-m) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} z^{-m} X(Z)$

乘以指数序列性质

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

那么乘以指数序列性质表明：

$a^n\, . x(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z/a)$

时间反转性质

如果 $\, x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

那么时间反转性质表明：

$x (-n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(1/Z)$

Z 域微分或乘以 n 性质

如果 $\, x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

那么乘以 n 或 Z 域微分性质表明：

$ n^k x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} [-1]^k z^k{d^k X(Z) \over dZ^K} $

卷积性质

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

并且 $\,y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} Y(Z)$

那么卷积性质表明：

$x(n) * y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z).Y(Z)$

相关性质

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

并且 $\,y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} Y(Z)$

那么相关性质表明：

$x(n) \otimes y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z).Y(Z^{-1})$

初始值定理和终值定理

Z 变换的初始值定理和终值定理适用于因果信号。

初始值定理

对于因果信号 x(n)，初始值定理表明：

$ x (0) = \lim_{z \to \infty }⁡X(z) $

这用于在不进行反 Z 变换的情况下求解信号的初始值。

终值定理

对于因果信号 x(n)，终值定理表明：

$ x ( \infty ) = \lim_{z \to 1} (z-1) ⁡X(z) $

这用于在不进行反 Z 变换的情况下求解信号的终值。

Z 变换的收敛域 (ROC)

Z 变换收敛的 z 值变化范围称为 Z 变换的收敛域。

Z 变换收敛域的性质

• Z 变换的收敛域在 z 平面上用圆表示。

• 收敛域不包含任何极点。

• 如果 x(n) 是有限持续时间的因果序列或右半平面序列，则收敛域是整个 z 平面，除了 z = 0。

• 如果 x(n) 是有限持续时间的反因果序列或左半平面序列，则收敛域是整个 z 平面，除了 z = ∞。

• 如果 x(n) 是无限持续时间的因果序列，则收敛域是半径为 a 的圆的外部，即 |z| > a。

• 如果 x(n) 是无限持续时间的反因果序列，则收敛域是半径为 a 的圆的内部，即 |z| < a。

• 如果 x(n) 是有限持续时间的双边序列，则收敛域是整个 z 平面，除了 z = 0 和 z = ∞。

收敛域的概念可以通过以下示例来解释：

例 1： 求 $a^n u[n] + a^{-n}u[-n-1]$ 的 Z 变换和收敛域。

$Z.T[a^n u[n]] + Z.T[a^{-n}u[-n-1]] = {Z \over Z-a} + {Z \over Z {-1 \over a}}$

$$ ROC: |z| \gt a \quad\quad ROC: |z| \lt {1 \over a} $$

ROC 的图有两个条件，a > 1 和 a < 1，因为你不知道 a。

在这种情况下，没有组合收敛域。

此处，ROC 的组合是 $a \lt |z| \lt {1 \over a}$

因此，对于这个问题，当 a < 1 时，Z 变换是可能的。

因果性和稳定性

离散时间 LTI 系统的因果性条件如下：

当离散时间 LTI 系统满足以下条件时，它是因果的：

• 收敛域位于最外极点的外部。

• 在传递函数 H[Z] 中，分子的阶数不能大于分母的阶数。

离散时间 LTI 系统的稳定性条件

当离散时间 LTI 系统满足以下条件时，它是稳定的：

• 其系统函数 H[Z] 包括单位圆 |z|=1。

• 传递函数的所有极点都位于单位圆 |z|=1 的内部。

基本信号的 Z 变换