傅里叶级数性质

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这些是傅里叶级数的性质

线性性质

如果 $x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$ 和 $y(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{yn}$

那么线性性质表明

$\text{a}\, x(t) + \text{b}\, y(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} \text{a}\, f_{xn} + \text{b}\, f_{yn}$

时间移位性质

如果 $x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$

那么时间移位性质表明

$x(t-t_0) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} e^{-jn\omega_0 t_0}f_{xn}$

频率移位性质

如果 $x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$

那么频率移位性质表明

$e^{jn\omega_0 t_0} . x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{x(n-n_0)}$

时间反转性质

如果 $x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$

那么时间反转性质表明

如果 $x(-t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{-xn}$

时间尺度变换性质

如果 $x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$

那么时间尺度变换性质表明

如果 $x(at) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$

时间尺度变换性质将频率分量从 $\omega_0$ 变为 $a\omega_0$。

微分和积分性质

如果 $x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$

那么微分性质表明

如果 ${dx(t)\over dt} \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} jn\omega_0 . f_{xn}$

和积分性质表明

如果 $\int x(t) dt \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} {f_{xn} \over jn\omega_0}$

乘法和卷积性质

如果 $x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$ 和 $y(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{yn}$

那么乘法性质表明

$x(t) . y(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} T f_{xn} * f_{yn}$

和卷积性质表明

$x(t) * y(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} T f_{xn} . f_{yn}$

共轭和共轭对称性质

如果 $x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$

那么共轭性质表明

$x*(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f*_{xn}$

实值时间信号的共轭对称性质表明

$$f*_{xn} = f_{-xn}$$

和虚值时间信号的共轭对称性质表明

$$f*_{xn} = -f_{-xn}$$