希尔伯特变换

信号 x(t) 的希尔伯特变换定义为，其中信号所有分量的相位角偏移 $\pm \text{90}^o $ 的变换。

x(t) 的希尔伯特变换用 $\hat{x}(t)$ 表示，它由下式给出

$$ \hat{x}(t) = { 1 \over \pi } \int_{-\infty}^{\infty} {x(k) \over t-k } dk $$

逆希尔伯特变换由下式给出

$$ \hat{x}(t) = { 1 \over \pi } \int_{-\infty}^{\infty} {x(k) \over t-k } dk $$

x(t), $\hat{x}$(t) 称为希尔伯特变换对。

希尔伯特变换的性质

信号 x(t) 及其希尔伯特变换 $\hat{x}$(t) 具有

• 相同的幅度谱。

• 相同自相关函数。

• x(t) 和 $\hat{x}$(t) 的能量谱密度相同。

• x(t) 和 $\hat{x}$(t) 正交。

• $\hat{x}$(t) 的希尔伯特变换为 -x(t)

• 如果存在傅里叶变换，则能量和功率信号的希尔伯特变换也存在。