信号与系统 - 快速指南

---

---

什么是信号？

信号是随时间变化的物理现象，旨在传递信息。

或

信号是时间的函数。

或

信号是一个或多个自变量的函数，包含一些信息。

示例：语音信号、视频信号、电话线上的信号等。

注意：噪声也是一种信号，但噪声传递的信息是不需要的，因此被认为是不希望的。

什么是系统？

系统是设备或设备组合，可以对信号进行操作并产生相应的响应。系统的输入称为激励，输出称为响应。

对于一个或多个输入，系统可以有一个或多个输出。

示例：通信系统

信号基本类型

以下是一些基本信号

单位阶跃函数

单位阶跃函数用 u(t) 表示。其定义为 u(t) = $\left\{\begin{matrix}1 & t \geqslant 0\\ 0 & t<0 \end{matrix}\right.$

• 它被用作最佳测试信号。
• 单位阶跃函数下的面积为单位。

单位冲激函数

冲激函数用 δ(t) 表示，其定义为 δ(t) = $\left\{\begin{matrix}1 & t = 0\\ 0 & t\neq 0 \end{matrix}\right.$

$$ \int_{-\infty}^{\infty} δ(t)dt=u (t)$$

$$ \delta(t) = {du(t) \over dt } $$

斜坡信号

斜坡信号用 r(t) 表示，其定义为 r(t) = $\left\{\begin {matrix}t & t\geqslant 0\\ 0 & t < 0 \end{matrix}\right. $

$$ \int u(t) = \int 1 = t = r(t) $$

$$ u(t) = {dr(t) \over dt} $$

单位斜坡下的面积为单位。

抛物线信号

抛物线信号可以定义为 x(t) = $\left\{\begin{matrix} t^2/2 & t \geqslant 0\\ 0 & t < 0 \end{matrix}\right.$

$$\iint u(t)dt = \int r(t)dt = \int t dt = {t^2 \over 2} = 抛物线信号 $$

$$ \Rightarrow u(t) = {d^2x(t) \over dt^2} $$

$$ \Rightarrow r(t) = {dx(t) \over dt} $$

符号函数

符号函数用 sgn(t) 表示。其定义为 sgn(t) = $ \left\{\begin{matrix}1 & t>0\\ 0 & t=0\\ -1 & t<0 \end{matrix}\right. $

指数信号

指数信号的形式为 x(t) = $e^{\alpha t}$。

指数的形状由 $\alpha$ 定义。

情况一：如果 $\alpha$ = 0 $\to$ x(t) = $e^0$ = 1

情况二：如果 $\alpha$ < 0 即 -ve 则 x(t) = $e^{-\alpha t}$。形状称为衰减指数。

情况三：如果 $\alpha$ > 0 即 +ve 则 x(t) = $e^{\alpha t}$。形状称为上升指数。

矩形信号

设其用 x(t) 表示，其定义为

三角形信号

设其用 x(t) 表示

正弦信号

正弦信号的形式为 x(t) = A cos(${w}_{0}\,\pm \phi$) 或 A sin(${w}_{0}\,\pm \phi$)

其中 T₀ = $ 2\pi \over {w}_{0} $

Sinc 函数

它表示为 sinc(t)，其定义为 sinc

$$ (t) = {sin \pi t \over \pi t} $$

$$ = 0\, \text{对于 t} = \pm 1, \pm 2, \pm 3 ... $$

采样函数

它表示为 sa(t)，其定义为

$$sa(t) = {sin t \over t}$$

$$= 0 \,\, \text{对于 t} = \pm \pi,\, \pm 2 \pi,\, \pm 3 \pi \,... $$

信号分类

信号可分为以下几类

• 连续时间信号和离散时间信号

• 确定性信号和非确定性信号

• 偶信号和奇信号

• 周期信号和非周期信号

• 能量信号和功率信号

• 实信号和虚信号

连续时间信号和离散时间信号

当信号在所有时间点都定义时，则称该信号为连续信号。

当信号仅在离散时间点定义时，则称该信号为离散信号。

确定性信号和非确定性信号

如果在任何时间点关于其值没有不确定性，则称该信号为确定性信号。或者，可以用数学公式精确定义的信号称为确定性信号。

如果在某些时间点关于其值存在不确定性，则称该信号为非确定性信号。非确定性信号本质上是随机的，因此称为随机信号。随机信号不能用数学方程描述。它们以概率术语建模。

偶信号和奇信号

如果信号满足条件 x(t) = x(-t)，则称该信号为偶信号

示例 1：t2、t4…cost 等。

设 x(t) = t2

x(-t) = (-t)2 = t2 = x(t)

$\therefore, $ t2 是偶函数

示例 2：如下图所示，矩形函数 x(t) = x(-t)，因此它也是偶函数。

如果信号满足条件 x(t) = -x(-t)，则称该信号为奇信号

示例：t、t3…和 sin t

设 x(t) = sin t

x(-t) = sin(-t) = -sin t = -x(t)

$\therefore, $ sin t 是奇函数。

任何函数 ƒ(t) 都可以表示为其偶函数 ƒ_e(t) 和奇函数 ƒ_o(t) 的和。

ƒ(t ) = ƒ_e(t ) + ƒ₀(t )

其中

ƒ_e(t ) = ½[ƒ(t ) +ƒ(-t )]

周期信号和非周期信号

如果信号满足条件 x(t) = x(t + T) 或 x(n) = x(n + N)，则称该信号为周期信号。

其中

T = 基本周期，

1/T = f = 基本频率。

上述信号将在每个时间间隔 T₀ 重复，因此它是周期为 T₀ 的周期信号。

能量信号和功率信号

如果信号具有有限能量，则称该信号为能量信号。

$$\text{能量}\, E = \int_{-\infty}^{\infty} x^2\,(t)dt$$

如果信号具有有限功率，则称该信号为功率信号。

$$\text{功率}\, P = \lim_{T \to \infty}\,{1\over2T}\,\int_{-T}^{T}\,x^2(t)dt$$

注意：一个信号不可能同时是能量信号和功率信号。此外，信号可能既不是能量信号也不是功率信号。

能量信号的功率 = 0

功率信号的能量 = ∞

实信号和虚信号

如果信号满足条件 x(t) = x*(t)，则称该信号为实信号

如果信号满足条件 x(t) = -x*(t)，则称该信号为奇信号

示例

如果 x(t)= 3 则 x*(t)=3*=3 这里 x(t) 是实信号。

如果 x(t)= 3j 则 x*(t)=3j* = -3j = -x(t) 因此 x(t) 是奇信号。

注意：对于实信号，虚部应为零。类似地，对于虚信号，实部应为零。

信号基本运算

一般有两个可变参数

1. 幅度
2. 时间

可以使用以下运算对幅度进行运算

幅度缩放

C x(t) 是 x(t) 的幅度缩放版本，其幅度按因子 C 缩放。

加法

两个信号的加法就是它们对应幅度的加法。这可以通过以下示例最好地解释

从上图可以看出，

-10 < t < -3 z(t) 的幅度 = x1(t) + x2(t) = 0 + 2 = 2

-3 < t < 3 z(t) 的幅度 = x1(t) + x2(t) = 1 + 2 = 3

3 < t < 10 z(t) 的幅度 = x1(t) + x2(t) = 0 + 2 = 2

减法

两个信号的减法就是它们对应幅度的减法。这可以通过以下示例最好地解释

从上图可以看出，

• -10 < t < -3 z (t) 的幅度 = x1(t) - x2(t) = 0 - 2 = -2
• -3 < t < 3 z (t) 的幅度 = x1(t) - x2(t) = 1 - 2 = -1
• 3 < t < 10 z (t) 的幅度 = x1(t) + x2(t) = 0 - 2 = -2

乘法

两个信号的乘法就是它们对应幅度的乘法。这可以通过以下示例最好地解释

从上图可以看出，

-10 < t < -3 z (t) 的幅度 = x1(t) ×x2(t) = 0 ×2 = 0

-3 < t < 3 z (t) 的幅度 = x1(t) ×x2(t) = 1 ×2 = 2

3 < t < 10 z (t) 的幅度 = x1(t) × x2(t) = 0 × 2 = 0

可以使用以下运算对时间进行运算

时间移位

x(t $\pm$ t₀) 是信号 x(t) 的时间移位版本。

x (t + t₀) $\to$ 负移位

x (t - t₀) $\to$ 正移位

时间缩放

x(At) 是信号 x(t) 的时间缩放版本。其中 A 始终为正。

|A| > 1 $\to$ 信号压缩

|A| < 1 $\to$ 信号扩展

注意：u(at) = u(t) 时间缩放不适用于单位阶跃函数。

时间反转

x(-t) 是信号 x(t) 的时间反转。

系统分类

系统可分为以下几类

• 线性系统和非线性系统
• 时变系统和时不变系统
• 线性时变系统和线性时不变系统
• 静态系统和动态系统
• 因果系统和非因果系统
• 可逆系统和不可逆系统
• 稳定系统和不稳定系统

线性系统和非线性系统

如果系统满足叠加原理和齐次性原理，则称该系统为线性系统。考虑两个系统，其输入为 x₁(t)、x₂(t)，输出分别为 y₁(t)、y₂(t)。然后，根据叠加原理和齐次性原理，

T [a₁ x₁(t) + a₂ x₂(t)] = a₁ T[x₁(t)] + a₂ T[x₂(t)]

$\therefore, $ T [a₁ x₁(t) + a₂ x₂(t)] = a₁ y₁(t) + a₂ y₂(t)

从上述表达式可以清楚地看出，整个系统的响应等于各个系统的响应。

示例

(t) = x²(t)

解决方案

y₁ (t) = T[x₁(t)] = x₁²(t)

y₂ (t) = T[x₂(t)] = x₂²(t)

T [a₁ x₁(t) + a₂ x₂(t)] = [ a₁ x₁(t) + a₂ x₂(t)]²

这与 a₁ y₁(t) + a₂ y₂(t) 不相等。因此，该系统被称为非线性系统。

时变系统和时不变系统

如果系统的输入和输出特性随时间变化，则称该系统为时变系统。否则，该系统被认为是时不变系统。

时不变系统的条件是

y (n , t) = y(n-t)

时变系统的条件是

y (n , t) $\neq$ y(n-t)

其中 y (n , t) = T[x(n-t)] = 输入变化

y (n-t) = 输出变化

示例

y(n) = x(-n)

y(n, t) = T[x(n-t)] = x(-n-t)

y(n-t) = x(-(n-t)) = x(-n + t)

$\therefore$ y(n, t) ≠ y(n-t)。因此，该系统是时变系统。

线性时变 (LTV) 和线性时不变 (LTI) 系统

如果一个系统既是线性的又是时变的，则称为线性时变 (LTV) 系统。

如果一个系统既是线性的又是时不变的，则称为线性时不变 (LTI) 系统。

静态系统和动态系统

静态系统是无记忆的，而动态系统是有记忆的。

示例 1： y(t) = 2 x(t)

对于当前值 t=0，系统输出为 y(0) = 2x(0)。这里，输出仅取决于当前输入。因此，该系统是无记忆或静态的。

示例 2： y(t) = 2 x(t) + 3 x(t-3)

对于当前值 t=0，系统输出为 y(0) = 2x(0) + 3x(-3)。

这里 x(-3) 是当前输入的过去值，系统需要记忆才能得到此输出。因此，该系统是一个动态系统。

因果系统和非因果系统

如果一个系统的输出取决于当前和过去的输入，而不取决于未来的输入，则称该系统为因果系统。

对于非因果系统，输出也取决于未来的输入。

示例 1： y(n) = 2 x(t) + 3 x(t-3)

对于当前值 t=1，系统输出为 y(1) = 2x(1) + 3x(-2)。

这里，系统输出仅取决于当前和过去的输入。因此，该系统是因果的。

示例 2： y(n) = 2 x(t) + 3 x(t-3) + 6x(t + 3)

对于当前值 t=1，系统输出为 y(1) = 2x(1) + 3x(-2) + 6x(4)。这里，系统输出取决于未来的输入。因此，该系统是非因果系统。

可逆系统和不可逆系统

如果系统的输入出现在输出端，则称该系统为可逆的。

Y(S) = X(S) H1(S) H2(S)

= X(S) H1(S) · $1 \over ( H1(S) )$       因为 H2(S) = 1/( H1(S) )

$\therefore, $ Y(S) = X(S)

$\to$ y(t) = x(t)

因此，该系统是可逆的。

如果 y(t) $\neq$ x(t)，则称该系统为不可逆的。

稳定系统和不稳定系统

只有当输出对于有界输入是有界的时，该系统才被称为稳定。对于有界输入，如果输出在系统中是无界的，则称其为不稳定。

注意：对于有界信号，幅度是有限的。

示例 1： y (t) = x²(t)

假设输入为 u(t)（单位阶跃有界输入），则输出 y(t) = u2(t) = u(t) = 有界输出。

因此，该系统是稳定的。

示例 2： y (t) = $\int x(t)\, dt$

假设输入为 u (t)（单位阶跃有界输入），则输出 y(t) = $\int u(t)\, dt$ = 斜坡信号（无界，因为斜坡的幅度不是有限的，当 t $\to$ 无穷大时，它会趋于无穷大）。

因此，该系统是不稳定的。

信号分析

向量和信号之间的类比

向量和信号之间存在完美的类比。

向量

向量包含大小和方向。向量的名称用粗体表示，其大小用普通字体表示。

示例：V 是一个大小为 V 的向量。考虑以下图中所示的两个向量 V₁ 和 V₂。设 V₁ 沿 V₂ 的分量由 C₁₂V₂ 给出。可以通过从 V₁ 的末端向向量 V₂ 作垂线来获得向量 V₁ 沿向量 V₂ 的分量，如图所示

向量 V₁ 可以用向量 V₂ 表示

V₁= C₁₂V₂ + V_e

其中 Ve 是误差向量。

但这并不是用 V₂ 表示向量 V₁ 的唯一方法。替代可能性是

对于较大的分量值，误差信号最小。如果 C₁₂=0，则两个信号被称为正交。

两个向量的点积

V₁ . V₂ = V₁.V₂ cosθ

θ = V1 和 V2 之间的角度

V₁ . V₂ =V₂.V₁

V₁ 沿 V₂ 的分量 = V₁ Cos θ = $V1.V2 \over V2$

从图中，V₁ 沿 V₂ 的分量 = C ₁₂ V₂

$$V_1.V_2 \over V_2 = C_12\,V_2$$

$$ \Rightarrow C_{12} = {V_1.V_2 \over V_2}$$

信号

正交的概念可以应用于信号。让我们考虑两个信号 f₁(t) 和 f₂(t)。与向量类似，您可以用 f₂(t) 来近似 f₁(t)，如下所示

f₁(t) = C₁₂ f₂(t) + f_e(t) 对于 (t₁ < t < t₂)

$ \Rightarrow $ f_e(t) = f₁(t) – C₁₂ f₂(t)

最小化误差的一种可能方法是在区间 t₁ 到 t₂ 上进行积分。

$${1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t)] dt$$

$${1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [f_1(t) - C_{12}f_2(t)]dt $$

但是，此步骤也不能将误差降低到可观的程度。这可以通过取误差函数的平方来纠正。

$\varepsilon = {1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t)]^2 dt$

$\Rightarrow {1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t) - C_{12}f_2]^2 dt $

其中 ε 是误差信号的均方值。要找到使误差最小化的 C₁₂ 值，需要计算 ${d\varepsilon \over dC_{12} } = 0 $

$\Rightarrow {d \over dC_{12} } [ {1 \over t_2 - t_1 } \int_{t_1}^{t_2} [f_1 (t) - C_{12} f_2 (t)]^2 dt]= 0 $

$\Rightarrow {1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [ {d \over dC_{12} } f_{1}^2(t) - {d \over dC_{12} } 2f_1(t)C_{12}f_2(t)+ {d \over dC_{12} } f_{2}^{2} (t) C_{12}^2 ] dt =0 $

不包含 C12 项的项的导数为零。

$\Rightarrow \int_{t_1}^{t_2} - 2f_1(t) f_2(t) dt + 2C_{12}\int_{t_1}^{t_2}[f_{2}^{2} (t)]dt = 0 $

如果 $C_{12} = {{\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt } \over {\int_{t_1}^{t_2} f_{2}^{2} (t)dt }} $ 分量为零，则两个信号被称为正交。

将 C₁₂ = 0 代入以获得正交条件。

0 = $ {{\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt } \over {\int_{t_1}^{t_2} f_{2}^{2} (t)dt }} $

$$ \int_{t_1}^{t_2} f_1 (t)f_2(t) dt = 0 $$

正交向量空间

一组完整的正交向量称为正交向量空间。考虑如下所示的三维向量空间

考虑点 (X₁, Y₁, Z₁) 处的向量 A。考虑三个单位向量 (V_X, V_Y, V_Z)，分别沿 X、Y、Z 轴方向。由于这些单位向量是相互正交的，因此满足以下条件

$$V_X. V_X= V_Y. V_Y= V_Z. V_Z = 1 $$

$$V_X. V_Y= V_Y. V_Z= V_Z. V_X = 0 $$

您可以将上述条件写成

$$V_a . V_b = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & \quad a = b \\ 0 & \quad a \neq b \end{array} \right. $$

向量 A 可以用其分量和单位向量表示为

$A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z................(1) $

此三维空间中的任何向量都可以仅用这三个单位向量表示。

如果考虑 n 维空间，则该空间中的任何向量 A 可以表示为

$ A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z+...+ N_1V_N.....(2) $

由于对于任何向量 A，单位向量的大小为 1

A 沿 x 轴的分量 = A.V_X

A 沿 Y 轴的分量 = A.V_Y

A 沿 Z 轴的分量 = A.V_Z

类似地，对于 n 维空间，A 沿某个 G 轴的分量

$= A.VG...............(3)$

将方程 2 代入方程 3。

$\Rightarrow CG= (X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z +...+G_1 V_G...+ N_1V_N)V_G$

$= X_1 V_X V_G + Y_1 V_Y V_G + Z_1 V_Z V_G +...+ G_1V_G V_G...+ N_1V_N V_G$

$= G_1 \,\,\,\,\, \text{因为 } V_G V_G=1$

$如果 V_G V_G \neq 1 \,\,\text{即} V_G V_G= k$

$AV_G = G_1V_G V_G= G_1K$

$G_1 = {(AV_G) \over K}$

正交信号空间

让我们考虑一组 n 个在区间 t₁ 到 t₂ 上相互正交的函数 x₁(t)、x₂(t)... x_n(t)。由于这些函数彼此正交，因此任意两个信号 x_j(t)、x_k(t) 必须满足正交条件。即

$$\int_{t_1}^{t_2} x_j(t)x_k(t)dt = 0 \,\,\, \text{其中}\, j \neq k$$

$$\text{令} \int_{t_1}^{t_2}x_{k}^{2}(t)dt = k_k $$

令一个函数 f(t)，它可以通过添加沿相互正交信号的分量来用此正交信号空间近似，即

$\,\,\,f(t) = C_1x_1(t) + C_2x_2(t) + ... + C_nx_n(t) + f_e(t) $

$\quad\quad=\Sigma_{r=1}^{n} C_rx_r (t) $

$\,\,\,f(t) = f(t) - \Sigma_{r=1}^n C_rx_r (t) $

均方误差 $ \varepsilon = {1 \over t_2 - t_2 } \int_{t_1}^{t_2} [ f_e(t)]^2 dt$

$$ = {1 \over t_2 - t_2 } \int_{t_1}^{t_2} [ f[t] - \sum_{r=1}^{n} C_rx_r(t) ]^2 dt $$

可以通过以下方式找到使均方误差最小的分量

$$ {d\varepsilon \over dC_1} = {d\varepsilon \over dC_2} = ... = {d\varepsilon \over dC_k} = 0 $$

让我们考虑 ${d\varepsilon \over dC_k} = 0 $

$${d \over dC_k}[ {1 \over t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2} [ f(t) - \Sigma_{r=1}^n C_rx_r(t)]^2 dt] = 0 $$

所有不包含 C_k 的项都为零。即在求和中，r=k 项保留，所有其他项都为零。

$$\int_{t_1}^{t_2} - 2 f(t)x_k(t)dt + 2C_k \int_{t_1}^{t_2} [x_k^2 (t)] dt=0 $$

$$\Rightarrow C_k = {{\int_{t_1}^{t_2}f(t)x_k(t)dt} \over {int_{t_1}^{t_2} x_k^2 (t)dt}} $$

$$\Rightarrow \int_{t_1}^{t_2} f(t)x_k(t)dt = C_kK_k $$

均方误差

误差函数 f_e(t) 平方值的平均值称为均方误差。它用 ε（epsilon）表示。

.

$\varepsilon = {1 \over t_2 - t_1 } \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t)]^2dt$

$\,\,\,\,= {1 \over t_2 - t_1 } \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t) - \Sigma_{r=1}^n C_rx_r(t)]^2 dt $

$\,\,\,\,= {1 \over t_2 - t_1 } [ \int_{t_1}^{t_2} [f_e^2 (t) ]dt + \Sigma_{r=1}^{n} C_r^2 \int_{t_1}^{t_2} x_r^2 (t) dt - 2 \Sigma_{r=1}^{n} C_r \int_{t_1}^{t_2} x_r (t)f(t)dt$

已知 $C_{r}^{2} \int_{t_1}^{t_2} x_r^2 (t)dt = C_r \int_{t_1}^{t_2} x_r (t)f(d)dt = C_r^2 K_r $

$\varepsilon = {1 \over t_2 - t_1 } [ \int_{t_1}^{t_2} [f^2 (t)] dt + \Sigma_{r=1}^{n} C_r^2 K_r - 2 \Sigma_{r=1}^{n} C_r^2 K_r] $

$\,\,\,\,= {1 \over t_2 - t_1 } [\int_{t_1}^{t_2} [f^2 (t)] dt - \Sigma_{r=1}^{n} C_r^2 K_r ] $

$\, \therefore \varepsilon = {1 \over t_2 - t_1 } [\int_{t_1}^{t_2} [f^2 (t)] dt + (C_1^2 K_1 + C_2^2 K_2 + ... + C_n^2 K_n)] $

上述公式用于评估均方误差。

正交函数的闭集和完备集

考虑一组在区间 t₁ 到 t₂ 上互为正交的 n 个函数 x₁(t)，x₂(t)...x_n(t)。当不存在任何满足条件 $\int_{t_1}^{t_2} f(t)x_k(t)dt = 0 $ 的函数 f(t) 时，这组函数被称为闭集和完备集。

如果该函数满足方程 $\int_{t_1}^{t_2} f(t)x_k(t)dt=0 \,\, \text{for}\, k = 1,2,..$，则称 f(t) 与正交集中的每个函数都正交。如果没有 f(t)，则该集合是不完备的。当包含 f(t) 时，它就变成了闭集和完备集。

可以通过沿着互为正交的信号添加分量，用这组正交集近似 f(t)，即

$$f(t) = C_1 x_1(t) + C_2 x_2(t) + ... + C_n x_n(t) + f_e(t) $$

如果无限级数 $C_1 x_1(t) + C_2 x_2(t) + ... + C_n x_n(t)$ 收敛于 f(t)，则均方误差为零。

复函数的正交性

如果 f₁(t) 和 f₂(t) 是两个复函数，则 f₁(t) 可以用 f₂(t) 表示为

$f_1(t) = C_{12}f_2(t) \,\,\,\,\,\,\,\,$ ..误差可忽略不计

其中 $C_{12} = {{\int_{t_1}^{t_2} f_1(t)f_2^*(t)dt} \over { \int_{t_1}^{t_2} |f_2(t)|^2 dt}} $

其中 $f_2^* (t)$ = f₂(t) 的共轭复数。

如果 f₁(t) 和 f₂(t) 正交，则 C₁₂ = 0

$$ {\int_{t_1}^{t_2} f_1 (t) f_2^*(t) dt \over \int_{t_1}^{t_2} |f_2 (t) |^2 dt} = 0 $$

$$\Rightarrow \int_{t_1}^{t_2} f_1 (t) f_2^* (dt) = 0$$

上述公式表示复函数的正交性条件。

傅里叶级数

**傅里叶 (Jean Baptiste Joseph Fourier)**，法国数学家和物理学家；出生于法国欧塞尔。他创立了傅里叶级数、傅里叶变换及其在热传递和振动问题中的应用。傅里叶级数、傅里叶变换和傅里叶定律都是以他的名字命名的。

傅里叶级数

为了表示任何周期信号 x(t)，傅里叶发展了一个称为傅里叶级数的表达式。它用正弦和余弦或指数的无限和表示。傅里叶级数利用了正交性条件。

连续时间周期信号的傅里叶级数表示

如果信号满足条件 x (t) = x (t + T) 或 x (n) = x (n + N)，则称该信号为周期信号。

其中 T = 基本周期，

ω₀= 基本频率 = 2π/T

有两种基本周期信号

$x(t) = \cos\omega_0t$ (正弦波) &

$x(t) = e^{j\omega_0 t} $ (复指数)

这两种信号的周期为 $T= 2\pi/\omega_0$。

一组谐波相关的复指数可以表示为 {$\phi_k (t)$}

$${ \phi_k (t)} = \{ e^{jk\omega_0t}\} = \{ e^{jk({2\pi \over T})t}\} \text{其中} \,k = 0 \pm 1, \pm 2 ..n \,\,\,.....(1) $$

所有这些信号的周期都是 T

根据正交信号空间，用 n 个互为正交的函数逼近函数 x (t) 的公式为

$$x(t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0t} ..... (2) $$

$$ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} a_kk e^{jk\omega_0t} $$

其中 $a_k$= 傅里叶系数 = 逼近系数。

该信号 x(t) 的周期也为 T。

公式 (2) 表示周期信号 x(t) 的傅里叶级数表示。

k = 0 项为常数项。

k = ±1 项具有基本频率 ω₀，称为一次谐波。

k = ±2 项具有基本频率 2ω₀，称为二次谐波，以此类推…

k = ±n 项具有基本频率 nω₀，称为 n 次谐波。

推导傅里叶系数

已知 $x(t) = \Sigma_{k=- \infty}^{\infty} a_k e^{jk \omega_0 t} ...... (1)$

两边乘以 $e^{-jn\omega_0 t}$。然后

$$ x(t)e^{-jn\omega_0 t} = \sum_{k=- \infty}^{\infty} a_k e^{jk \omega_0 t} . e^{-jn\omega_0 t} $$

考虑两边的积分。

$$ \int_{0}^{T} x(t) e^{jk \omega_0 t} dt = \int_{0}^{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk \omega_0 t} . e^{-jn\omega_0 t}dt $$

$$ \quad \quad \quad \quad \,\, = \int_{0}^{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j(k-n) \omega_0 t} . dt$$

$$ \int_{0}^{T} x(t) e^{jk \omega_0 t} dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k \int_{0}^{T} e^{j(k-n) \omega_0 t} dt. \,\, ..... (2)$$

根据欧拉公式，

$$ \int_{0}^{T} e^{j(k-n) \omega_0 t} dt. = \int_{0}^{T} \cos(k-n)\omega_0 dt + j \int_{0}^{T} \sin(k-n)\omega_0t\,dt$$

$$ \int_{0}^{T} e^{j(k-n) \omega_0 t} dt. = \left\{ \begin{array}{l l} T & \quad k = n \\ 0 & \quad k \neq n \end{array} \right. $$

因此，在公式 (2) 中，除了 k = n 时，积分对所有 k 值都为零。在公式 (2) 中令 k = n。

$$\Rightarrow \int_{0}^{T} x(t) e^{-jn\omega_0 t} dt = a_n T $$

$$\Rightarrow a_n = {1 \over T} \int_{0}^{T} e^{-jn\omega_0 t} dt $$

将 n 替换为 k。

$$\Rightarrow a_k = {1 \over T} \int_{0}^{T} e^{-jk\omega_0 t} dt$$

$$\therefore x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j(k-n) \omega_0 t} $$

$$\text{其中} a_k = {1 \over T} \int_{0}^{T} e^{-jk\omega_0 t} dt $$

傅里叶级数性质

这些是傅里叶级数的性质

线性性质

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{傅里叶级数\,}\xrightarrow[\,]{系数} f_{xn}$ & $ y(t) \xleftarrow[\,]{傅里叶级数\,}\xrightarrow[\,]{系数} f_{yn}$

则线性性质表明

$ \text{a}\, x(t) + \text{b}\, y(t) \xleftarrow[\,]{傅里叶级数\,}\xrightarrow[\,]{系数} \text{a}\, f_{xn} + \text{b}\, f_{yn}$

时移性质

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{傅里叶级数\,}\xrightarrow[\,]{系数} f_{xn}$

则时移性质表明

$x(t-t_0) \xleftarrow[\,]{傅里叶级数\,}\xrightarrow[\,]{系数} e^{-jn\omega_0 t_0}f_{xn} $

频移性质

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{傅里叶级数\,}\xrightarrow[\,]{系数} f_{xn}$

则频移性质表明

$e^{jn\omega_0 t_0} . x(t) \xleftarrow[\,]{傅里叶级数\,}\xrightarrow[\,]{系数} f_{x(n-n_0)} $

时间反转性质

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{傅里叶级数\,}\xrightarrow[\,]{系数} f_{xn}$

则时间反转性质表明

如果 $ x(-t) \xleftarrow[\,]{傅里叶级数\,}\xrightarrow[\,]{系数} f_{-xn}$

时间缩放性质

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{傅里叶级数\,}\xrightarrow[\,]{系数} f_{xn}$

则时间缩放性质表明

如果 $ x(at) \xleftarrow[\,]{傅里叶级数\,}\xrightarrow[\,]{系数} f_{xn}$

时间缩放性质将频率分量从 ω₀ 更改为 aω₀。

微分和积分性质

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{傅里叶级数\,}\xrightarrow[\,]{系数} f_{xn}$

则微分性质表明

如果 $ {dx(t)\over dt} \xleftarrow[\,]{傅里叶级数\,}\xrightarrow[\,]{系数} jn\omega_0 . f_{xn}$

& 积分性质表明

如果 $ \int x(t) dt \xleftarrow[\,]{傅里叶级数\,}\xrightarrow[\,]{系数} {f_{xn} \over jn\omega_0} $

乘法和卷积性质

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{傅里叶级数\,}\xrightarrow[\,]{系数} f_{xn}$ & $ y(t) \xleftarrow[\,]{傅里叶级数\,}\xrightarrow[\,]{系数} f_{yn}$

则乘法性质表明

$ x(t) . y(t) \xleftarrow[\,]{傅里叶级数\,}\xrightarrow[\,]{系数} T f_{xn} * f_{yn}$

& 卷积性质表明

$ x(t) * y(t) \xleftarrow[\,]{傅里叶级数\,}\xrightarrow[\,]{系数} T f_{xn} . f_{yn}$

共轭和共轭对称性质

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{傅里叶级数\,}\xrightarrow[\,]{系数} f_{xn}$

则共轭性质表明

$ x*(t) \xleftarrow[\,]{傅里叶级数\,}\xrightarrow[\,]{系数} f*_{xn}$

实值时间信号的共轭对称性质表明

$$f*_{xn} = f_{-xn}$$

& 虚值时间信号的共轭对称性质表明

$$f*_{xn} = -f_{-xn} $$

傅里叶级数类型

三角傅里叶级数 (TFS)

sin nω₀ t 和 sin mω₀ t 在区间 (t₀, t₀+{2π \over ω₀}) 上正交。因此，sinω₀ t、sin 2ω₀ t 构成一个正交集。如果没有 {cos nω₀ t}，则该集合不完备，因为该余弦集也与正弦集正交。因此，为了使该集合完备，我们必须同时包含余弦项和正弦项。现在，完备的正交集包含所有余弦项和正弦项，即 {sin nω₀ t、cos nω₀ t}，其中 n=0, 1, 2...

$\therefore$ 区间 (t₀, t₀+{2π \over ω₀}) 中的任何函数 x(t) 可以表示为

$$ x(t) = a_0 \cos0\omega_0 t+ a_1 \cos⁡ 1\omega_0 t+ a_2 \cos2 ⁡\omega_0 t +...+ a_n \cos⁡ n\omega_0 t + ... $$

$$ + b_0 \sin⁡ 0\omega_0 t + b_1 \sin⁡ 1\omega_0 t +...+ b_n \sin⁡ n\omega_0 t + ... $$

$$ = a_0 + a_1 \cos⁡ 1\omega_0 t + a_2 \cos 2⁡ \omega_0 t +...+ a_n \cos⁡ n\omega_0 t + ...$$

$$ + b_1 \sin⁡ 1\omega_0 t +...+ b_n \sin⁡ n\omega_0 t + ...$$

$$ \therefore x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos⁡ n\omega_0 t + b_n \sin⁡ n\omega_0 t ) \quad (t_0< t < t_0+T)$$

上述公式表示 x(t) 的三角傅里叶级数表示。

$$\text{其中} \,a_0 = {\int_{t_0}^{t_0+T} x(t)·1 dt \over \int_{t_0}^{t_0+T} 1^2 dt} = {1 \over T}· \int_{t_0}^{t_0+T} x(t)dt $$

$$a_n = {\int_{t_0}^{t_0+T} x(t)· \cos⁡ n\omega_0 t\,dt \over \int_{t_0}^{t_0+T} \cos ^2 n\omega_0 t\, dt}$$

$$b_n = {\int_{t_0}^{t_0+T} x(t)· \sin n\omega_0 t\,dt \over \int_{t_0}^{t_0+T} \sin ^2 n\omega_0 t\, dt}$$

$$\text{这里}\, \int_{t_0}^{t_0+T} \cos ^2 n\omega_0 t\, dt = \int_{t_0}^{t_0+T} \sin ^2 n\omega_0 t\, dt = {T\over 2}$$

$$\therefore a_n = {2\over T}· \int_{t_0}^{t_0+T} x(t)· \cos⁡ n\omega_0 t\,dt$$

$$b_n = {2\over T}· \int_{t_0}^{t_0+T} x(t)· \sin n\omega_0 t\,dt$$

指数傅里叶级数 (EFS)

考虑一组复指数函数 $\left\{e^{jn\omega_0 t}\right\} (n=0, \pm1, \pm2...)$，它在区间 $(t_0, t_0+T)$ 上是正交的。其中 $T={2\pi \over \omega_0}$。这是一个完备集，因此可以用它来表示任何函数 f(t)，如下所示

$ f(t) = F_0 + F_1e^{j\omega_0 t} + F_2e^{j 2\omega_0 t} + ... + F_n e^{j n\omega_0 t} + ...$

$\quad \quad \,\,F_{-1}e^{-j\omega_0 t} + F_{-2}e^{-j 2\omega_0 t} +...+ F_{-n}e^{-j n\omega_0 t}+...$

$$ \therefore f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{j n\omega_0 t} \quad \quad (t_0< t < t_0+T) ....... (1) $$

公式1表示信号 f(t) 在区间 (t₀, t₀+T) 上的指数傅里叶级数表示。傅里叶系数计算如下：

$$ F_n = {\int_{t_0}^{t_0+T} f(t) (e^{j n\omega_0 t} )^* dt \over \int_{t_0}^{t_0+T} e^{j n\omega_0 t} (e^{j n\omega_0 t} )^* dt} $$

$$ \quad = {\int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-j n\omega_0 t} dt \over \int_{t_0}^{t_0+T} e^{-j n\omega_0 t} e^{j n\omega_0 t} dt} $$

$$ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \,\, = {\int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-j n\omega_0 t} dt \over \int_{t_0}^{t_0+T} 1\, dt} = {1 \over T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-j n\omega_0 t} dt $$

$$ \therefore F_n = {1 \over T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-j n\omega_0 t} dt $$

三角傅里叶级数与指数傅里叶级数之间的关系

考虑一个周期信号 x(t)，其TFS和EFS表示分别如下所示

$ x(t) = a_0 + \Sigma_{n=1}^{\infty}(a_n \cos⁡ n\omega_0 t + b_n \sin⁡ n\omega_0 t) ... ... (1)$

$ x(t) = \Sigma_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{j n\omega_0 t}$

$\quad \,\,\, = F_0 + F_1e^{j\omega_0 t} + F_2e^{j 2\omega_0 t} + ... + F_n e^{j n\omega_0 t} + ... $

$\quad \quad \quad \quad F_{-1} e^{-j\omega_0 t} + F_{-2}e^{-j 2\omega_0 t} + ... + F_{-n}e^{-j n\omega_0 t} + ... $

$ = F_0 + F_1(\cos \omega_0 t + j \sin\omega_0 t) + F_2(cos 2\omega_0 t + j \sin 2\omega_0 t) + ... + F_n(\cos n\omega_0 t+j \sin n\omega_0 t)+ ... + F_{-1}(\cos\omega_0 t-j \sin\omega_0 t) + F_{-2}(\cos 2\omega_0 t-j \sin 2\omega_0 t) + ... + F_{-n}(\cos n\omega_0 t-j \sin n\omega_0 t) + ... $

$ = F_0 + (F_1+ F_{-1}) \cos\omega_0 t + (F_2+ F_{-2}) \cos2\omega_0 t +...+ j(F_1 - F_{-1}) \sin\omega_0 t + j(F_2 - F_{-2}) \sin2\omega_0 t+... $

$ \therefore x(t) = F_0 + \Sigma_{n=1}^{\infty}( (F_n +F_{-n} ) \cos n\omega_0 t+j(F_n-F_{-n}) \sin n\omega_0 t) ... ... (2) $

比较公式1和2。

$a_0= F_0$

$a_n=F_n+F_{-n}$

$b_n = j(F_n-F_{-n} )$

类似地，

$F_n = \frac12 (a_n - jb_n )$

$F_{-n} = \frac12 (a_n + jb_n )$

傅里叶变换

傅里叶级数的主要缺点是，它只适用于周期信号。有一些自然产生的信号，例如非周期性或非周期性信号，我们无法使用傅里叶级数来表示。为了克服这个缺点，傅里叶开发了一个数学模型，用于在时域（或空间域）和频域之间转换信号，反之亦然，这被称为“傅里叶变换”。

傅里叶变换在物理学和工程学中有很多应用，例如线性时不变系统的分析、雷达、天文学、信号处理等。

从傅里叶级数推导傅里叶变换

考虑一个周期为T的周期信号 f(t)。f(t) 的复傅里叶级数表示为

$$ f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0 t} $$

$$ \quad \quad \quad \quad \quad = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j {2\pi \over T_0} kt} ... ... (1) $$

令 ${1 \over T_0} = \Delta f$，则公式1变为

$f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j2\pi k \Delta ft} ... ... (2) $

但你知道

$a_k = {1\over T_0} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-j k\omega_0 t} dt$

代入公式2。

(2) $ \Rightarrow f(t) = \Sigma_{k=-\infty}^{\infty} {1 \over T_0} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-j k\omega_0 t} dt\, e^{j2\pi k \Delta ft} $

令 $t_0={T\over2}$

$ = \Sigma_{k=-\infty}^{\infty} [ \int_{-T\over2}^{T\over2} f(t) e^{-j2 \pi k \Delta ft} dt ] \, e^{j2 \pi k \Delta ft}.\Delta f $

当 $T \to \infty$ 时，$\Delta f$ 接近微分 $df$，$k \Delta f$ 变成连续变量 $f$，求和变成积分

$$ f(t) = lim_{T \to \infty} ⁡\left\{ \Sigma_{k=-\infty}^{\infty} [ \int_{-T\over2}^{T\over2} f(t) e^{-j2 \pi k \Delta ft} dt ] \, e^{j2 \pi k \Delta ft}.\Delta f \right\} $$

$$ = \int_{-\infty}^{\infty} [ \int_{-\infty}^{\infty}\,f(t) e^{-j2\pi ft} dt] e^{j2\pi ft} df $$

$$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\, F[\omega] e^{j\omega t} d \omega$$

$\text{其中}\,F[\omega] = [ \int_{-\infty}^{\infty}\, f(t) e^{-j2 \pi ft} dt]$

基本函数的傅里叶变换

让我们了解一下基本函数的傅里叶变换

门函数的傅里叶变换

$$F[\omega] = AT Sa({\omega T \over 2})$$

冲激函数的傅里叶变换

$FT [\omega(t) ] = [\int_{- \infty}^{\infty} \delta (t) e^{-j\omega t} dt] $

$\quad \quad \quad \quad = e^{-j\omega t}\, |\, t = 0 $

$\quad \quad \quad \quad = e^{0} = 1 $

$\quad \therefore \delta (\omega) = 1 $

单位阶跃函数的傅里叶变换

$U(\omega) = \pi \delta (\omega)+1/j\omega$

指数函数的傅里叶变换

$ e^{-at}u(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} 1/(a+jω)$

$ e^{-at}u(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} 1/(a+j\omega )$

$ e^{-a\,|\,t\,|} \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} {2a \over {a^2+ω^2}}$

$ e^{j \omega_0 t} \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} \delta (\omega - \omega_0)$

符号函数的傅里叶变换

$ sgn(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} {2 \over j \omega }$

傅里叶变换存在的条件

只有当函数满足狄利克雷条件时，任何函数 f(t) 才能用傅里叶变换表示。即

• 函数 f(t) 具有有限个最大值和最小值。

• 在给定的时间间隔内，信号 f(t) 必须具有有限个不连续点。

• 它在给定的时间间隔内必须是绝对可积的，即

  $ \int_{-\infty}^{\infty}\, |\, f(t) | \, dt < \infty $

离散时间傅里叶变换 (DTFT)

离散时间傅里叶变换 (DTFT) 或离散时间序列 x[n] 的傅里叶变换是根据复指数序列 $e^{j\omega n}$ 对序列的表示。

DTFT 序列 x[n] 由下式给出

$$ X(\omega) = \Sigma_{n= -\infty}^{\infty} x(n)e^{-j \omega n} \,\, ...\,... (1) $$

这里，X(ω) 是实频率变量 ω 的复函数，可以写成

$$ X(\omega) = X_{re}(\omega) + jX_{img}(\omega) $$

其中 X_re(ω)，X_img(ω) 分别是 X(ω) 的实部和虚部。

$$ X_{re}(\omega) = |\, X(\omega) | \cos\theta(\omega) $$

$$ X_{img}(\omega) = |\, X(\omega) | \sin\theta(\omega) $$

$$ |X(\omega) |^2 = |\, X_{re} (\omega) |^2+ |\,X_{im} (\omega) |^2 $$

并且 X(ω) 也可以表示为 $ X(\omega) = |\,X(\omega) | e^{j\theta (ω)} $

其中 $\theta(\omega) = arg{X(\omega) } $

$|\,X(\omega) |, \theta(\omega)$ 分别称为 X(ω) 的幅度谱和相位谱。

离散时间傅里叶逆变换

$$ x(n) = { 1 \over 2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(\omega) e^{j \omega n} d\omega \,\, ...\,... (2)$$

收敛条件

公式1中的无限级数可能收敛也可能不收敛。x(n) 是绝对可和的。

$$ \text{当}\,\, \sum_{n=-\infty}^{\infty} |\, x(n)|\, < \infty $$

绝对可和序列总是具有有限能量，但有限能量序列不一定是绝对可和的。

傅里叶变换性质

以下是傅里叶变换的性质

线性性质

$\text{如果}\,\,x (t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega) $

$ \text{&} \,\, y(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} Y(\omega) $

则线性性质指出

$a x (t) + b y (t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} a X(\omega) + b Y(\omega) $

时移性质

$\text{如果}\, x(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X (\omega)$

则时移性质指出

$x (t-t_0) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} e^{-j\omega t_0 } X(\omega)$

频移性质

$\text{如果}\,\, x(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega)$

则频移性质指出

$e^{j\omega_0 t} . x (t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega - \omega_0)$

时间反转性质

$ \text{如果}\,\, x(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega)$

则时间反转性质指出

$ x (-t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(-\omega)$

时间缩放性质

$ \text{如果}\,\, x (t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega) $

则时间尺度变换性质指出

$ x (at) {1 \over |\,a\,|} X { \omega \over a}$

微分和积分性质

$ If \,\, x (t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega)$

则微分性质指出

$ {dx (t) \over dt} \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} j\omega . X(\omega)$

$ {d^n x (t) \over dt^n } \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} (j \omega)^n . X(\omega) $

积分性质指出

$ \int x(t) \, dt \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} {1 \over j \omega} X(\omega) $

$ \iiint ... \int x(t)\, dt \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} { 1 \over (j\omega)^n} X(\omega) $

乘法和卷积性质

$ \text{如果} \,\, x(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega) $

$ \text{&} \,\,y(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} Y(\omega) $

则乘法性质指出

$ x(t). y(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega)*Y(\omega) $

卷积性质指出

$ x(t) * y(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} {1 \over 2 \pi} X(\omega).Y(\omega) $

无失真传输

如果输入和输出具有相同的波形，则传输被称为无失真传输。即，在无失真传输中，输入 x(t) 和输出 y(t) 满足以下条件

y (t) = Kx(t - t_d)

其中 t_d = 延迟时间，

k = 常数。

对两边进行傅里叶变换

FT[ y (t)] = FT[Kx(t - t_d)]

= K FT[x(t - t_d)]

根据时移性质，

= KX(w)$e^{-j \omega t_d}$

$ \therefore Y(w) = KX(w)e^{-j \omega t_d}$

因此，当且仅当具有冲激响应 h(t) 的系统的输入信号 x(t) 的传输满足以下条件时，才能实现无失真传输

$|H(\omega)| = K \,\, 且 \,\,\, $ (幅频响应)

$ \Phi (\omega) = -\omega t_d = -2\pi f t_d \,\,\, $ (相频响应)

物理传输系统可能具有如下所示的幅频和相频响应

希尔伯特变换

信号 x(t) 的希尔伯特变换定义为将信号所有分量的相位角移位 ±90° 的变换。

x(t) 的希尔伯特变换用 $\hat{x}(t)$ 表示，其公式为

$$ \hat{x}(t) = { 1 \over \pi } \int_{-\infty}^{\infty} {x(k) \over t-k } dk $$

希尔伯特逆变换的公式为

$$ \hat{x}(t) = { 1 \over \pi } \int_{-\infty}^{\infty} {x(k) \over t-k } dk $$

x(t)，$\hat{x}$(t) 称为希尔伯特变换对。

希尔伯特变换的性质

信号 x(t) 及其希尔伯特变换 $\hat{x}$(t) 具有：

• 相同的幅度谱。

• 相同的自相关函数。

• x(t) 和 $\hat{x}$(t) 的能量谱密度相同。

• x(t) 和 $\hat{x}$(t) 正交。

• $\hat{x}$(t) 的希尔伯特变换为 -x(t)

• 如果存在傅里叶变换，则能量和功率信号也存在希尔伯特变换。

卷积与相关

卷积

卷积是一种数学运算，用于表达线性时不变系统输入和输出之间的关系。它将线性时不变系统的输入、输出和冲激响应联系起来，如下所示：

$$ y (t) = x(t) * h(t) $$

其中 y (t) = 线性时不变系统的输出

x (t) = 线性时不变系统的输入

h (t) = 线性时不变系统的冲激响应

卷积有两种类型：

• 连续卷积

• 离散卷积

连续卷积

$ y(t) \,\,= x (t) * h (t) $

$= \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h (t-\tau)d\tau$

(或)

$= \int_{-\infty}^{\infty} x(t - \tau) h (\tau)d\tau $

离散卷积

$y(n)\,\,= x (n) * h (n)$

$= \Sigma_{k = - \infty}^{\infty} x(k) h (n-k) $

(或)

$= \Sigma_{k = - \infty}^{\infty} x(n-k) h (k) $

利用卷积可以求出系统的零状态响应。

解卷积

解卷积是卷积的逆过程，广泛应用于信号和图像处理。

卷积的性质

交换律

$ x_1 (t) * x_2 (t) = x_2 (t) * x_1 (t) $

分配律

$ x_1 (t) * [x_2 (t) + x_3 (t) ] = [x_1 (t) * x_2 (t)] + [x_1 (t) * x_3 (t)]$

结合律

$x_1 (t) * [x_2 (t) * x_3 (t) ] = [x_1 (t) * x_2 (t)] * x_3 (t) $

移位特性

$ x_1 (t) * x_2 (t) = y (t) $

$ x_1 (t) * x_2 (t-t_0) = y (t-t_0) $

$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t) = y (t-t_0) $

$ x_1 (t-t_0) * x_2 (t-t_1) = y (t-t_0-t_1) $

与冲激的卷积

$ x_1 (t) * \delta (t) = x(t) $

$ x_1 (t) * \delta (t- t_0) = x(t-t_0) $

单位阶跃函数的卷积

$ u (t) * u (t) = r(t) $

$ u (t-T_1) * u (t-T_2) = r(t-T_1-T_2) $

$ u (n) * u (n) = [n+1] u(n) $

尺度特性

如果 $x (t) * h (t) = y (t) $

则 $x (a t) * h (a t) = {1 \over |a|} y (a t)$

输出的微分

如果 $y (t) = x (t) * h (t)$

则 $ {dy (t) \over dt} = {dx(t) \over dt} * h (t) $

或

$ {dy (t) \over dt} = x (t) * {dh(t) \over dt}$

注意

• 两个因果序列的卷积是因果的。

• 两个反因果序列的卷积是反因果的。

• 两个不等长矩形的卷积结果为梯形。

• 两个等长矩形的卷积结果为三角形。

• 一个函数与其自身的卷积等于该函数的积分。

示例：已知 $u(t) * u(t) = r(t)$

根据以上说明，$u(t) * u(t) = \int u(t)dt = \int 1dt = t = r(t)$

这里，你只需对 $u(t)$ 进行积分即可得到结果。

卷积信号的范围

如果两个信号进行卷积，则得到的卷积信号具有以下范围：

下限之和 < t < 上限之和

例如：求下面给定信号的卷积范围

这里，我们有两个不等长的矩形进行卷积，结果为梯形。

卷积信号的范围为

下限之和 < t < 上限之和

$-1+-2 < t < 2+2 $

$-3 < t < 4 $

因此，结果是周期为 7 的梯形。

卷积信号的面积

卷积信号下的面积由 $A_y = A_x A_h$ 给出

其中 A_x = 输入信号下的面积

A_h = 冲激响应下的面积

A_y = 输出信号下的面积

证明： $y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h (t-\tau)d\tau$

两边取积分

$ \int y(t)dt \,\,\, =\int \int_{-\infty}^{\infty}\, x (\tau) h (t-\tau)d\tau dt $

$ =\int x (\tau) d\tau \int_{-\infty}^{\infty}\, h (t-\tau) dt $

我们知道任何信号的面积就是该信号本身的积分。

$\therefore A_y = A_x\,A_h$

直流分量

任何信号的直流分量由下式给出：

$\text{直流分量}={\text{信号的面积} \over \text{信号的周期}}$

例如：下面给出的卷积信号的直流分量是多少？

这里 x₁(t) 的面积 = 长度 × 宽度 = 1 × 3 = 3

x₂(t) 的面积 = 长度 × 宽度 = 1 × 4 = 4

卷积信号的面积 = x₁(t) 的面积 × x₂(t) 的面积

= 3 × 4 = 12

卷积信号的持续时间 = 下限之和 < t < 上限之和

= -1 + -2 < t < 2+2

= -3 < t < 4

周期=7

$\therefore$ 卷积信号的直流分量 = $\text{信号的面积} \over \text{信号的周期}$

直流分量 = ${12 \over 7}$

离散卷积

让我们看看如何计算离散卷积

i. 计算离散线性卷积

将两个序列 x[n] = {a,b,c} 和 h[n] = [e,f,g] 进行卷积

卷积输出 = [ ea, eb+fa, ec+fb+ga, fc+gb, gc]

注意：如果两个序列分别有 m、n 个样本，则得到的卷积序列将有 [m+n-1] 个样本。

示例：将两个序列 x[n] = {1,2,3} 和 h[n] = {-1,2,2} 进行卷积

卷积输出 y[n] = [ -1, -2+2, -3+4+2, 6+4, 6]

= [-1, 0, 3, 10, 6]

这里 x[n] 包含 3 个样本，h[n] 也包含 3 个样本，因此得到的序列包含 3+3-1 = 5 个样本。

ii. 计算周期性或循环卷积

周期性卷积对离散傅里叶变换有效。要计算周期性卷积，所有样本都必须是实数。周期性或循环卷积也称为快速卷积。

如果两个长度分别为 m、n 的序列使用循环卷积进行卷积，则得到的序列将具有 max [m,n] 个样本。

例如：使用循环卷积将两个序列 x[n] = {1,2,3} 和 h[n] = {-1,2,2} 进行卷积

普通卷积输出 y[n] = [ -1, -2+2, -3+4+2, 6+4, 6]。

= [-1, 0, 3, 10, 6]

这里 x[n] 包含 3 个样本，h[n] 也包含 3 个样本。因此，通过循环卷积得到的序列必须具有 max[3,3]= 3 个样本。

现在要获得周期性卷积结果，普通卷积的前 3 个样本（因为周期为 3）相同，接下来的两个样本添加到第一个样本中，如下所示

$\therefore$ 循环卷积结果 $y[n] = [9\quad 6\quad 3 ]$

相关性

相关性是衡量两个信号之间相似性的指标。相关性的通用公式为

$$ \int_{-\infty}^{\infty} x_1 (t)x_2 (t-\tau) dt $$

相关性有两种类型：

• 自相关

• 互相关

自相关函数

它被定义为信号与其自身的相关性。自相关函数是衡量信号与其延迟版本之间相似性的指标。它用 R($\tau$) 表示。

考虑一个信号 x(t)。x(t) 及其延迟版本的自相关函数由下式给出：

$$ R_{11} (\tau) = R (\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t-\tau) dt \quad \quad \text{[正移]} $$

$$\quad \quad \quad \quad \quad = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau) dt \quad \quad \text{[-负移]} $$

其中 $\tau$ = 搜索或扫描或延迟参数。

如果信号是复数，则自相关函数由下式给出：

$$ R_{11} (\tau) = R (\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x * (t-\tau) dt \quad \quad \text{[正移]} $$

$$\quad \quad \quad \quad \quad = \int_{-\infty}^{\infty} x(t + \tau)x * (t) dt \quad \quad \text{[-负移]} $$

能量信号的自相关函数的性质

• 自相关表现出共轭对称性，即 R ($\tau$) = R*(-$\tau$)

• 能量信号在原点（即 $\tau$=0 处）的自相关函数等于该信号的总能量，其公式为：

  R (0) = E = $ \int_{-\infty}^{\infty}\,|\,x(t)\,|^2\,dt $

• 自相关函数 $\infty {1 \over \tau} $,

• 自相关函数在 $\tau$=0 处最大，即 |R ($\tau$) | ≤ R (0) ∀ $\tau$

• 自相关函数和能量谱密度是傅里叶变换对。即

  $F.T\,[ R (\tau) ] = \Psi(\omega)$

  $\Psi(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} R (\tau) e^{-j\omega \tau} d \tau$

• $ R (\tau) = x (\tau)* x(-\tau) $

功率信号的自相关函数

周期为 T 的周期性功率信号的自相关函数由下式给出：

$$ R (\tau) = \lim_{T \to \infty} {1\over T} \int_{{-T \over 2}}^{{T \over 2}}\, x(t) x* (t-\tau) dt $$

性质

• 功率信号的自相关表现出共轭对称性，即 $ R (\tau) = R*(-\tau)$

• 功率信号在 $\tau = 0$（在原点）处的自相关函数等于该信号的总功率。即

  $R (0)= \rho $

• 功率信号的自相关函数 $\infty {1 \over \tau}$,

• 功率信号的自相关函数在 $\tau$ = 0 处最大，即

  $ | R (\tau) | \leq R (0)\, \forall \,\tau$

• 自相关函数和功率谱密度是傅里叶变换对。即

  $F.T[ R (\tau) ] = s(\omega)$

  $s(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} R (\tau) e^{-j\omega \tau} d\tau$

• $R (\tau) = x (\tau)* x(-\tau) $

密度谱

让我们看看密度谱

能量密度谱

能量密度谱可以使用以下公式计算：

$$ E = \int_{-\infty}^{\infty} |\,x(f)\,|^2 df $$

功率密度谱

功率密度谱可以使用以下公式计算：

$$P = \Sigma_{n = -\infty}^{\infty}\, |\,C_n |^2 $$

互相关函数

互相关是衡量两个不同信号之间相似性的指标。

考虑两个信号 x₁(t) 和 x₂(t)。这两个信号的互相关 $R_{12}(\tau)$ 由下式给出

$$R_{12} (\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x_1 (t)x_2 (t-\tau)\, dt \quad \quad \text{[正向移位]} $$

$$\quad \quad = \int_{-\infty}^{\infty} x_1 (t+\tau)x_2 (t)\, dt \quad \quad \text{[-向移位]}$$

如果信号是复数，则

$$R_{12} (\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x_1 (t)x_2^{*}(t-\tau)\, dt \quad \quad \text{[正向移位]} $$

$$\quad \quad = \int_{-\infty}^{\infty} x_1 (t+\tau)x_2^{*} (t)\, dt \quad \quad \text{[-向移位]}$$

$$R_{21} (\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x_2 (t)x_1^{*}(t-\tau)\, dt \quad \quad \text{[正向移位]} $$

$$\quad \quad = \int_{-\infty}^{\infty} x_2 (t+\tau)x_1^{*} (t)\, dt \quad \quad \text{[-向移位]}$$

能量和功率信号的互相关函数性质

• 自相关具有共轭对称性，即 $R_{12} (\tau) = R^*_{21} (-\tau)$。

• 互相关不像卷积那样满足交换律，即

  $$ R_{12} (\tau) \neq R_{21} (-\tau) $$

• 如果 R₁₂(0) = 0，意味着如果 $ \int_{-\infty}^{\infty} x_1 (t) x_2^* (t) dt = 0$，则这两个信号被称为正交。

  对于功率信号，如果 $ \lim_{T \to \infty} {1\over T} \int_{{-T \over 2}}^{{T \over 2}}\, x(t) x^* (t)\,dt $，则这两个信号被称为正交。

• 互相关函数对应于一个信号的频谱与另一个信号频谱的复共轭的乘积。即

  $$ R_{12} (\tau) \leftarrow \rightarrow X_1(\omega) X_2^*(\omega)$$

  这也被称为相关定理。

帕塞瓦尔定理

帕塞瓦尔定理对于能量信号指出，信号的总能量可以通过信号的频谱获得，如下所示

$ E = {1\over 2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} |X(\omega)|^2 d\omega $

注意：如果一个信号具有能量 E，则该信号的时间尺度版本 x(at) 具有能量 E/a。

信号采样定理

陈述：连续时间信号可以表示为其样本，并且当采样频率 f_s 大于或等于消息信号最高频率分量的两倍时，可以恢复回原始信号。即

$$ f_s \geq 2 f_m. $$

证明：考虑一个连续时间信号 x(t)。x(t) 的频谱限制在 f_m Hz 内，即 x(t) 的频谱对于 |ω|>ω_m 为零。

输入信号 x(t) 的采样可以通过将 x(t) 与周期为 T_s 的脉冲序列 δ(t) 相乘来获得。乘法器的输出是称为采样信号的离散信号，在以下图中用 y(t) 表示

在这里，您可以观察到采样信号采用脉冲的周期。采样过程可以通过以下数学表达式解释

$ \text{采样信号}\, y(t) = x(t) . \delta(t) \,\,...\,...(1) $

$\delta$(t) 的三角傅里叶级数表示如下

$ \delta(t)= a_0 + \Sigma_{n=1}^{\infty}(a_n \cos⁡ n\omega_s t + b_n \sin⁡ n\omega_s t )\,\,...\,...(2) $

其中 $ a_0 = {1\over T_s} \int_{-T \over 2}^{ T \over 2} \delta (t)dt = {1\over T_s} \delta(0) = {1\over T_s} $

$ a_n = {2 \over T_s} \int_{-T \over 2}^{T \over 2} \delta (t) \cos n\omega_s\, dt = { 2 \over T_2} \delta (0) \cos n \omega_s 0 = {2 \over T}$

$b_n = {2 \over T_s} \int_{-T \over 2}^{T \over 2} \delta(t) \sin⁡ n\omega_s t\, dt = {2 \over T_s} \delta(0) \sin⁡ n\omega_s 0 = 0 $

将上述值代入公式 2。

$\therefore\, \delta(t)= {1 \over T_s} + \Sigma_{n=1}^{\infty} ( { 2 \over T_s} \cos ⁡ n\omega_s t+0)$

将 δ(t) 代入公式 1。

$\to y(t) = x(t) . \delta(t) $

$ = x(t) [{1 \over T_s} + \Sigma_{n=1}^{\infty}({2 \over T_s} \cos n\omega_s t) ] $

$ = {1 \over T_s} [x(t) + 2 \Sigma_{n=1}^{\infty} (\cos n\omega_s t) x(t) ] $

$ y(t) = {1 \over T_s} [x(t) + 2\cos \omega_s t.x(t) + 2 \cos 2\omega_st.x(t) + 2 \cos 3\omega_s t.x(t) \,...\, ...\,] $

对两边进行傅里叶变换。

$Y(\omega) = {1 \over T_s} [X(\omega)+X(\omega-\omega_s )+X(\omega+\omega_s )+X(\omega-2\omega_s )+X(\omega+2\omega_s )+ \,...] $

$\therefore\,\, Y(\omega) = {1\over T_s} \Sigma_{n=-\infty}^{\infty} X(\omega - n\omega_s )\quad\quad where \,\,n= 0,\pm1,\pm2,... $

为了重建 x(t)，必须从采样信号频谱 Y(ω) 中恢复输入信号频谱 X(ω)，当 Y(ω) 的周期之间没有重叠时，这是可能的。

不同条件下采样频率频谱的可能性由以下图给出

混叠效应

欠采样情况下重叠区域表示混叠效应，可以通过以下方法消除

• 考虑 f_s >2f_m

• 使用抗混叠滤波器。

信号采样技术

有三种类型的采样技术

• 脉冲采样。

• 自然采样。

• 平顶采样。

脉冲采样

脉冲采样可以通过将输入信号 x(t) 与周期为 'T' 的脉冲序列 $\Sigma_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)$ 相乘来执行。这里，脉冲的幅度随着输入信号 x(t) 的幅度而变化。采样器的输出由下式给出

$y(t) = x(t) ×$ 脉冲序列

$= x(t) × \Sigma_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT)$

$ y(t) = y_{\delta} (t) = \Sigma_{n=-\infty}^{\infty}x(nt) \delta(t-nT)\,...\,... 1 $

为了获得采样信号的频谱，考虑对等式 1 的两边进行傅里叶变换

$Y(\omega) = {1 \over T} \Sigma_{n=-\infty}^{\infty} X(\omega - n \omega_s ) $

这被称为理想采样或脉冲采样。在实践中无法使用它，因为脉冲宽度不能为零，并且在实践中不可能产生脉冲序列。

自然采样

自然采样类似于脉冲采样，只是脉冲序列被周期为 T 的脉冲序列所取代。即，将输入信号 x(t) 乘以脉冲序列 $\Sigma_{n=-\infty}^{\infty} P(t-nT)$，如下所示

采样器的输出为

$y(t) = x(t) \times \text{脉冲序列}$

$= x(t) \times p(t) $

$= x(t) \times \Sigma_{n=-\infty}^{\infty} P(t-nT)\,...\,...(1) $

p(t) 的指数傅里叶级数表示可以写成

$p(t) = \Sigma_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{j n\omega_s t}\,...\,...(2) $

$= \Sigma_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{j 2 \pi nf_s t} $

其中 $F_n= {1 \over T} \int_{-T \over 2}^{T \over 2} p(t) e^{-j n \omega_s t} dt$

$= {1 \over TP}(n \omega_s)$

将 F_n 的值代入公式 2

$ \therefore p(t) = \Sigma_{n=-\infty}^{\infty} {1 \over T} P(n \omega_s)e^{j n \omega_s t}$

$ = {1 \over T} \Sigma_{n=-\infty}^{\infty} P(n \omega_s)e^{j n \omega_s t}$

将 p(t) 代入公式 1

$y(t) = x(t) \times p(t)$

$= x(t) \times {1 \over T} \Sigma_{n=-\infty}^{\infty} P(n \omega_s)\,e^{j n \omega_s t} $

$y(t) = {1 \over T} \Sigma_{n=-\infty}^{\infty} P( n \omega_s)\, x(t)\, e^{j n \omega_s t} $

为了获得采样信号的频谱，考虑对两边进行傅里叶变换。

$F.T\, [ y(t)] = F.T [{1 \over T} \Sigma_{n=-\infty}^{\infty} P( n \omega_s)\, x(t)\, e^{j n \omega_s t}]$

$ = {1 \over T} \Sigma_{n=-\infty}^{\infty} P( n \omega_s)\,F.T\,[ x(t)\, e^{j n \omega_s t} ] $

根据频率移位特性

$F.T\,[ x(t)\, e^{j n \omega_s t} ] = X[\omega-n\omega_s] $

$ \therefore\, Y[\omega] = {1 \over T} \Sigma_{n=-\infty}^{\infty} P( n \omega_s)\,X[\omega-n\omega_s] $

平顶采样

在传输过程中，会在传输脉冲的顶部引入噪声，如果脉冲呈平顶状，则可以很容易地去除噪声。这里，样本的顶部是平坦的，即它们具有恒定的幅度。因此，它被称为平顶采样或实际采样。平顶采样利用采样保持电路。

从理论上讲，采样信号可以通过矩形脉冲 p(t) 与理想采样信号（例如 y_δ(t)）的卷积来获得，如图所示

即 $ y(t) = p(t) \times y_\delta (t)\, ... \, ...(1) $

为了获得采样频谱，考虑对等式 1 的两边进行傅里叶变换

$Y[\omega] = F.T\,[P(t) \times y_\delta (t)] $

根据卷积特性，

$Y[\omega] = P(\omega)\, Y_\delta (\omega)$

这里 $P(\omega) = T Sa({\omega T \over 2}) = 2 \sin \omega T/ \omega$

奈奎斯特率

它是将信号转换为样本并能够在不失真地恢复回原始信号的最低采样率。

奈奎斯特率 f_N = 2f_m hz

奈奎斯特间隔 = ${1 \over fN}$ = $ {1 \over 2fm}$ 秒。

带通信号的采样

对于带通信号，带通信号 X[ω] 的频谱对于频率范围外的频率 f₁ ≤ f ≤ f₂ 为 0。频率 f₁ 始终大于零。此外，当 f_s > 2f₂ 时，没有混叠效应。但它有两个缺点

• 采样率与 f₂ 成正比。这在实践中有一定的局限性。

• 采样信号频谱存在频谱间隙。

为了克服这一点，带通定理指出，当采样频率 f_s < 2f₂ 时，输入信号 x(t) 可以转换为其样本并可以恢复回原始信号，而不会产生失真。

此外，

$$ f_s = {1 \over T} = {2f_2 \over m} $$

其中 m 是小于 ${f_2 \over B}$ 的最大整数

且 B 是信号的带宽。如果 f₂=KB，则

$$ f_s = {1 \over T} = {2KB \over m} $$

对于带宽为 2f_m 的带通信号和最小采样率 f_s= 2 B = 4f_m，

采样信号的频谱由 $Y[\omega] = {1 \over T} \Sigma_{n=-\infty}^{\infty}\,X[ \omega - 2nB]$ 给出

拉普拉斯变换 (LT)

复傅里叶变换也称为双边拉普拉斯变换。它用于求解微分方程。考虑一个由形式为 x(t) = Ge^st 的复指数信号激励的 LTI 系统。

其中 s = 任何复数 = $\sigma + j\omega$，

σ = s 的实部，以及

ω = s 的虚部

LTI 的响应可以通过输入与其脉冲响应的卷积来获得，即

$ y(t) = x(t) \times h(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\, h (\tau)\, x (t-\tau)d\tau $

$= \int_{-\infty}^{\infty}\, h (\tau)\, Ge^{s(t-\tau)}d\tau $

$= Ge^{st}. \int_{-\infty}^{\infty}\, h (\tau)\, e^{(-s \tau)}d\tau $

$ y(t) = Ge^{st}.H(S) = x(t).H(S)$

其中 H(S) = $h(\tau)$ 的拉普拉斯变换 = $\int_{-\infty}^{\infty} h (\tau) e^{-s\tau} d\tau $

类似地，$x(t)$ 的拉普拉斯变换 = X(S) = $\int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt\,...\,...(1)$

拉普拉斯变换和傅里叶变换之间的关系

$x(t)$ 的拉普拉斯变换 = X(S) =$\int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$

将 s= σ + jω 代入上述公式。

$→ X(\sigma+j\omega) =\int_{-\infty}^{\infty}\,x (t) e^{-(\sigma+j\omega)t} dt$

$ = \int_{-\infty}^{\infty} [ x (t) e^{-\sigma t}] e^{-j\omega t} dt $

$\therefore X(S) = F.T [x (t) e^{-\sigma t}]\,...\,...(2)$

$X(S) = X(\omega) \quad\quad for\,\, s= j\omega$

拉普拉斯逆变换

您知道 $X(S) = F.T [x (t) e^{-\sigma t}]$

$\to x (t) e^{-\sigma t} = F.T^{-1} [X(S)] = F.T^{-1} [X(\sigma+j\omega)]$

$= {1\over 2}\pi \int_{-\infty}^{\infty} X(\sigma+j\omega) e^{j\omega t} d\omega$

$ x (t) = e^{\sigma t} {1 \over 2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\sigma+j\omega) e^{j\omega t} d\omega $

$= {1 \over 2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\sigma+j\omega) e^{(\sigma+j\omega)t} d\omega \,...\,...(3)$

这里，$\sigma+j\omega = s$

$jdω = ds → dω = ds/j$

$ \therefore x (t) = {1 \over 2\pi j} \int_{-\infty}^{\infty} X(s) e^{st} ds\,...\,...(4) $

公式 1 和 4 分别表示信号 x(t) 的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换。

拉普拉斯变换存在的条件

狄利克雷条件用于定义拉普拉斯变换的存在性。即

• 函数 f(t) 具有有限个最大值和最小值。

• 在给定的时间间隔内，信号 f(t) 必须具有有限个不连续点。

• 它必须在给定的时间间隔内绝对可积。即

  $ \int_{-\infty}^{\infty} |\,f(t)|\, dt \lt \infty $

初始值定理和终值定理

如果已知未知函数 x(t) 的拉普拉斯变换，则可以确定该未知信号的初始值和终值，即 x(t) 在 t=0⁺ 和 t=∞ 时的值。

初始值定理

叙述：如果 x(t) 及其一阶导数是拉普拉斯可变换的，则 x(t) 的初始值由下式给出

$$ x(0^+) = \lim_{s \to \infty} ⁡SX(S) $$

终值定理

叙述：如果 x(t) 及其一阶导数是拉普拉斯可变换的，则 x(t) 的终值由下式给出

$$ x(\infty) = \lim_{s \to \infty} ⁡SX(S) $$

拉普拉斯变换性质

拉普拉斯变换的性质如下

线性性质

如果 $\,x (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s)$

& $\, y(t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} Y(s)$

则线性性质指出

$a x (t) + b y (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} a X(s) + b Y(s)$

时移性质

如果 $\,x (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s)$

则时间推移性质表明

$x (t-t_0) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} e^{-st_0 } X(s)$

频移性质

如果 $\, x (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s)$

则频移性质指出

$e^{s_0 t} . x (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s-s_0)$

时间反转性质

如果 $\,x (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s)$

则时间反转性质表明

$x (-t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(-s)$

时间缩放性质

如果 $\,x (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s)$

则时间尺度变换性质表明

$x (at) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} {1\over |a|} X({s\over a})$

微分和积分性质

如果 $\, x (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s)$

则微分性质表明

$ {dx (t) \over dt} \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} s. X(s) - s. X(0) $

${d^n x (t) \over dt^n} \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} (s)^n . X(s)$

积分性质表明

$\int x (t) dt \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} {1 \over s} X(s)$

$\iiint \,...\, \int x (t) dt \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} {1 \over s^n} X(s)$

乘法和卷积性质

如果 $\,x(t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s)$

且 $ y(t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} Y(s)$

则乘法性质指出

$x(t). y(t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} {1 \over 2 \pi j} X(s)*Y(s)$

卷积性质表明

$x(t) * y(t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s).Y(s)$

收敛域 (ROC)

拉普拉斯变换收敛的 σ 的取值范围称为收敛域。

拉普拉斯变换收敛域的性质

• 收敛域包含 s 平面上平行于 jω 轴的带状区域。

  

• 如果 x(t) 是绝对可积的且是有限持续时间的，则收敛域是整个 s 平面。

• 如果 x(t) 是右边的序列，则收敛域：Re{s} > σ_o。

• 如果 x(t) 是左边的序列，则收敛域：Re{s} < σ_o。

• 如果 x(t) 是双边序列，则收敛域是两个区域的组合。

可以通过以下示例来解释收敛域

示例 1：求 $x(t) = e-^{at}u(t)$ 的拉普拉斯变换和收敛域

$L.T[x(t)] = L.T[e-^{at}u(t)] = {1 \over S+a}$

$ Re{} \gt -a $

$ ROC:Re{s} \gt >-a$

示例 2：求 $x(t) = e^{at}u(-t)$ 的拉普拉斯变换和收敛域

$ L.T[x(t)] = L.T[e^{at}u(t)] = {1 \over S-a} $

$ Re{s} < a $

$ ROC: Re{s} < a $

示例 3：求 $x(t) = e^{-at}u(t)+e^{at}u(-t)$ 的拉普拉斯变换和收敛域

$L.T[x(t)] = L.T[e^{-at}u(t)+e^{at}u(-t)] = {1 \over S+a} + {1 \over S-a}$

对于 ${1 \over S+a} Re\{s\} \gt -a $

对于 ${1 \over S-a} Re\{s\} \lt a $

参考上图，组合区域位于 –a 到 a 之间。因此，

$ ROC: -a < Re{s} < a $

因果性和稳定性

• 为了使系统具有因果性，其传递函数的所有极点必须位于 s 平面的右半部分。

  

• 当传递函数的所有极点都位于 s 平面的左半部分时，系统被称为稳定。

  

• 当传递函数的至少一个极点移到 s 平面的右半部分时，系统被称为不稳定。

  

• 当传递函数的至少一个极点位于 s 平面的 jω 轴上时，系统被称为临界稳定。

  

基本函数的 ROC

Z 变换 (ZT)

可以使用 z 变换对连续时间 LTI 系统进行分析。它是一种强大的数学工具，可以将微分方程转换为代数方程。

离散时间信号 x(n) 的双边（双侧）z 变换表示为

$Z.T[x(n)] = X(Z) = \Sigma_{n = -\infty}^{\infty} x(n)z^{-n} $

离散时间信号 x(n) 的单边（单侧）z 变换表示为

$Z.T[x(n)] = X(Z) = \Sigma_{n = 0}^{\infty} x(n)z^{-n} $

对于某些离散时间傅里叶变换 (DTFT) 不存在的信号，z 变换可能存在。

Z 变换和反 Z 变换的概念

离散时间信号 x(n) 的 z 变换可以用 X(Z) 表示，其定义为

$X(Z) = \Sigma_{n=- \infty }^ {\infty} x(n)z^{-n} \,...\,...\,(1)$

如果 $Z = re^{j\omega}$，则方程 1 变为

$X(re^{j\omega}) = \Sigma_{n=- \infty}^{\infty} x(n)[re^{j \omega} ]^{-n}$

$= \Sigma_{n=- \infty}^{\infty} x(n)[r^{-n} ] e^{-j \omega n}$

$X(re^{j \omega} ) = X(Z) = F.T[x(n)r^{-n}] \,...\,...\,(2) $

上述方程表示傅里叶变换和 z 变换之间的关系。

$ X(Z) |_{z=e^{j \omega}} = F.T [x(n)]. $

反 Z 变换

$X(re^{j \omega}) = F.T[x(n)r^{-n}] $

$x(n)r^{-n} = F.T^{-1}[X(re^{j \omega}]$

$x(n) = r^n\,F.T^{-1}[X(re^{j \omega} )]$

$= r^n {1 \over 2\pi} \int X(re{^j \omega} )e^{j \omega n} d \omega $

$= {1 \over 2\pi} \int X(re{^j \omega} )[re^{j \omega} ]^n d \omega \,...\,...\,(3)$

将 $re^{j \omega} = z$ 代入。

$dz = jre^{j \omega} d \omega = jz d \omega$

$d \omega = {1 \over j }z^{-1}dz$

代入方程 3。

$ 3\, \to \, x(n) = {1 \over 2\pi} \int\, X(z)z^n {1 \over j } z^{-1} dz = {1 \over 2\pi j} \int \,X(z) z^{n-1} dz $

Z 变换性质

Z 变换具有以下性质

线性性质

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

且 $\,y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} Y(Z)$

则线性性质指出

$a\, x (n) + b\, y (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} a\, X(Z) + b\, Y(Z)$

时移性质

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

则时移性质指出

$x (n-m) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} z^{-m} X(Z)$

指数序列相乘性质

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

则指数序列相乘性质表明

$a^n\, . x(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z/a)$

时间反转性质

如果 $\, x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

则时间反转性质表明

$x (-n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(1/Z)$

Z 域微分或 n 相乘性质

如果 $\, x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

则 n 相乘或 Z 域微分性质表明

$ n^k x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} [-1]^k z^k{d^k X(Z) \over dZ^K} $

卷积性质

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

且 $\,y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} Y(Z)$

则卷积性质表明

$x(n) * y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z).Y(Z)$

相关性性质

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

且 $\,y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} Y(Z)$

则相关性性质表明

$x(n) \otimes y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z).Y(Z^{-1})$

初始值和终值定理

z 变换的初始值和终值定理针对因果信号定义。

初始值定理

对于因果信号 x(n)，初始值定理表明

$ x (0) = \lim_{z \to \infty }⁡X(z) $

这用于在不进行反 z 变换的情况下找到信号的初始值

终值定理

对于因果信号 x(n)，终值定理表明

$ x ( \infty ) = \lim_{z \to 1} [z-1] ⁡X(z) $

这用于在不进行反 z 变换的情况下找到信号的终值。

Z 变换的收敛域 (ROC)

z 变换收敛的 z 取值范围称为 z 变换的收敛域。

Z 变换收敛域的性质

• z 变换的收敛域在 z 平面上用圆表示。

• 收敛域不包含任何极点。

• 如果 x(n) 是有限持续时间的因果序列或右边的序列，则收敛域是整个 z 平面，除了 z = 0。

• 如果 x(n) 是有限持续时间的反因果序列或左边的序列，则收敛域是整个 z 平面，除了 z = ∞。

• 如果 x(n) 是无限持续时间的因果序列，则收敛域是半径为 a 的圆的外部，即 |z| > a。

• 如果 x(n) 是无限持续时间的反因果序列，则收敛域是半径为 a 的圆的内部，即 |z| < a。

• 如果 x(n) 是有限持续时间的双边序列，则收敛域是整个 z 平面，除了 z = 0 和 z = ∞。

以下示例可以解释 ROC 的概念

示例 1：求 $a^n u[n] + a^{-}nu[-n-1]$ 的 z 变换和 ROC

$Z.T[a^n u[n]] + Z.T[a^{-n}u[-n-1]] = {Z \over Z-a} + {Z \over Z {-1 \over a}}$

$$ ROC: |z| \gt a \quad\quad ROC: |z| \lt {1 \over a} $$

ROC 的图有两个条件，a > 1 和 a < 1，因为您不知道 a 的值。

在这种情况下，没有组合 ROC。

这里，ROC 的组合是 $a \lt |z| \lt {1 \over a}$

因此，对于此问题，当 a < 1 时，z 变换是可能的。

因果性和稳定性

离散时间 LTI 系统的因果性条件如下

当以下条件满足时，离散时间 LTI 系统是因果的

• ROC 在最外层极点的外部。

• 在传递函数 H[Z] 中，分子的阶数不能大于分母的阶数。

离散时间 LTI 系统的稳定性条件

当以下条件满足时，离散时间 LTI 系统是稳定的

• 其系统函数 H[Z] 包含单位圆 |z|=1。

• 传递函数的所有极点都位于单位圆 |z|=1 的内部。

基本信号的 Z 变换