拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系

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傅里叶变换

傅里叶变换是一种变换技术，用于将信号从连续时间域转换为相应的频域。

数学上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$是一个连续时间域函数，则其傅里叶变换为：

$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega t}}\:\mathit{dt}} \:\:\:\:\:\:...(1)}$$

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时间域中的微分方程转换为频域或s域中的代数方程。

数学上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$是一个时间域函数，则其拉普拉斯变换定义为：

$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$

其中，s是一个复变量，表示为：

$$\mathrm{\mathit{s}\:\mathrm{=}\:\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega}}$$

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拉普拉斯变换和傅里叶变换之间的关系

根据傅里叶变换的定义，时间域函数$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$的傅里叶变换是形式为$\mathit{e^{j\omega t}}$的指数函数的连续和，这意味着它使用了正负频率的波的叠加。傅里叶变换用于求解描述系统输入和输出关系的微分方程。

为了求解这些微分方程，首先需要将微分方程转换为代数方程，然后对代数方程进行运算，得到输出$\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}$的傅里叶变换作为频率响应$\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}$和系统输入$\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}$的傅里叶变换的函数。最后，通过对输出$\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}$进行傅里叶逆变换，得到时间函数形式的输出。

但是，对于许多信号，例如$\left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right|$，傅里叶变换并不存在，因为它不是绝对可积的。此外，傅里叶变换也不能用于分析不稳定系统。

因此，在傅里叶变换无法使用的情况下，可以使用拉普拉斯变换。拉普拉斯变换重新定义了变换，并在jω中包含了一个指数收敛因子σ。因此，使用拉普拉斯变换，时间域信号$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$可以表示为形式为$\mathit{e^{st}}$的复指数函数的和。

由于包含了指数收敛因子(σ)，函数$\left|\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right|$变得绝对可积。因此，对于傅里叶变换不存在的函数，拉普拉斯变换存在。

现在，连续时间信号$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$的傅里叶变换定义为：

$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega t}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(3)}$$

傅里叶逆变换为：

$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t }\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\mathit{e^{\mathit{j\omega t}}\:\mathit{d\omega }}\:\:\:\:\:\:...(4)}$$

在傅里叶变换的定义中将ω替换为$\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega}$，我们得到：

$$\mathrm{\mathit{X}\left(\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega}\right)\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathrm{\left(\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega} \right )}t}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(5)}$$

然后，傅里叶逆变换，即$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$由下式给出：

$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t }\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}\mathit{X}\mathrm{\left(\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega} \right )}\mathit{e^{\mathrm{\left(\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega} \right )}t}\:\mathit{d\omega }}\:\:\:\:\:\:...(6)}$$

项$\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega}$用s表示。然后：

$$\mathrm{\mathit{j}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{ds}}{\mathit{d\omega}}\:\mathrm{or}\:\mathit{d\omega}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{ds}}{\mathit{j}}}$$

将这些值代入公式(5)和(6)，我们得到：

$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s }\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(7)}$$

以及

$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t }\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi\mathit{j}}\int_{\mathrm{\left(\sigma -\mathit{j\infty } \right)}}^{\mathrm{\left(\sigma \mathrm{+}\mathit{j\infty} \right)}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\mathit{e^{\mathit{st}}\:\mathit{d\omega }}\:\:\:\:\:\:...(8)}$$

公式(7)和(8)构成双边拉普拉斯变换对或复傅里叶变换对。因此，拉普拉斯变换只是信号的复傅里叶变换。因此，傅里叶变换等效于沿s平面虚轴计算的拉普拉斯变换，即：

$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}|_{\mathit{s=j\omega}}}$$

换句话说，函数$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$的拉普拉斯变换等于$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{\sigma t}}}$的傅里叶变换，即：

$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{\sigma t}}} \right ]}}$$