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法律研究复数和实数函数的傅里叶变换
傅里叶变换
对于连续时间函数 𝑥(𝑡)，𝑥(𝑡) 的傅里叶变换可以定义为：
$$\mathrm{X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}$$
并且逆傅里叶变换定义为：
$$\mathrm{x\left ( t \right )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}X\left ( \omega \right )e^{j\omega t}d\omega}$$
复数函数的傅里叶变换
考虑一个表示为以下形式的复数函数 𝑥(𝑡)：
$$\mathrm{x\left ( t \right )=x_{r}\left ( t \right )+jx_{i}\left ( t \right )}$$
其中，𝑥𝑟 (𝑡) 和 𝑥𝑖 (𝑡) 分别是函数的实部和虚部。
现在，函数 𝑥(𝑡) 的傅里叶变换由下式给出：
$$\mathrm{F\left [ x\left ( t \right ) \right ]=X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt=\int_{-\infty}^{\infty}\left [ x_{r}\left ( t \right )+jx_{i}\left ( t \right ) \right ]e^{-j\omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty}^{\infty}\left [ x_{r}\left ( t \right )+jx_{i}\left ( t \right ) \right ]\left [ \cos \omega t-j\sin \omega t \right ]dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty}^{\infty}\left [ x_{r}\left ( t \right )\cos \omega t+x_{i}\left ( t \right )\sin \omega t \right ]dt+j\int_{-\infty}^{\infty}\left [ x_{i}\left ( t \right )\cos \omega t-x_{r}\left ( t \right )\sin \omega t \right ]dt}$$
因此，复数函数的傅里叶变换为：
$$\mathrm{X(\omega )=X_{r}\left ( \omega \right )+jX_{i}\left ( \omega \right )}$$
其中，
$$\mathrm{X_{r}(\omega )=\int_{-\infty}^{\infty}\left [ x_{r}\left ( t \right )\cos \omega t+x_{i}\left ( t \right )\sin \omega t \right ]dt}$$
以及
$$\mathrm{X_{i}(\omega )=\int_{-\infty}^{\infty}\left [ x_{i}\left ( t \right )\cos \omega t-x_{r}\left ( t \right )\sin \omega t \right ]dt} $$
复数函数的逆傅里叶变换
根据逆傅里叶变换的定义，我们有：
$$\mathrm{x\left ( t \right )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}X\left ( \omega \right )e^{j\omega t}d\omega}$$
$$\mathrm{=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\left [ X_{r}\left ( \omega \right )+jX_{i}\left ( \omega \right ) \right ]\left [ \cos \omega t+j\sin \omega t \right ]d\omega} $$
$$\mathrm{\Rightarrow x\left ( t \right )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\left [ X_{r}\left ( \omega \right )\cos \omega t-X_{i}\left ( \omega \right )sin \omega t \right ]d\omega+j\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\left [ X_{r}\left ( \omega \right )\sin \omega t+X_{i}\left ( \omega \right )cos \omega t \right ]d\omega}$$
因此，
$$\mathrm{x\left ( t \right )=x_{r}\left ( t \right )+jx_{i}(t)}$$
其中，
$$\mathrm{x_{r}\left ( t \right )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\left [ X_{r}\left ( \omega \right )\cos \omega t-X_{i}\left ( \omega \right )sin \omega t \right ]d\omega}$$
以及
$$\mathrm{ x_{i}\left ( t \right )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}\left [ X_{r}\left ( \omega \right )\sin \omega t+X_{i}\left ( \omega \right )cos \omega t \right ]d\omega}$$
实数函数的傅里叶变换
情况一 – 当 𝑥(𝑡) 是一个实数函数时，
$$\mathrm{x_{i}\left ( t \right )=0\; \; and\; \; X\left ( -\omega \right )=X^{\ast }\left ( \omega \right )}$$
因此，函数的实部和虚部的傅里叶变换为：
$$\mathrm{X_{r}\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( t \right )\cos \omega t\; dt} $$
$$\mathrm{X_{i}\left ( \omega \right )=-\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( t \right )\sin \omega t\; dt}$$
$$\mathrm{\therefore X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( t \right )\cos \omega t\; dt-j\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( t \right )\sin \omega t\; dt}$$
情况二 – 当 𝑥(𝑡) 是实数且为偶函数时，
$$\mathrm{X_{r}\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( t \right )\cos \omega t\; dt=2\int_{0 }^{\infty}x\left ( t \right )\cos \omega t\; dt} $$
$$\mathrm{X_{i}\left ( \omega \right )=0}$$
$$\mathrm{\therefore X\left ( \omega \right )=2\int_{0 }^{\infty}x\left ( t \right )\cos \omega t\; dt}$$
情况三 – 当 𝑥(𝑡) 是实数且为奇函数时，
$$\mathrm{X_{r}\left ( \omega \right )=0}$$
$$\mathrm{X_{i}\left ( \omega \right )=jX\left ( \omega \right )=-j\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( t \right )\sin \omega t\; dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow X_{i}\left ( \omega \right )=-j2\int_{0 }^{\infty}x\left ( t \right )\sin \omega t\; dt}$$
$$\mathrm{\therefore X\left ( \omega \right )=-j2\int_{0 }^{\infty}x\left ( t \right )\sin \omega t\; dt}$$
如果 𝑥𝑒 (𝑡) 和 𝑥𝑜 (𝑡) 是函数 𝑥(𝑡) 的偶部和奇部，那么对于非对称函数，我们有：
$$\mathrm{F\left [ x\left ( t \right ) \right ]=X\left ( \omega \right )=X_{r}\left ( \omega \right )+jX_{i}\left ( \omega \right )} $$
$$\mathrm{\Rightarrow X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty}x_{e}\left ( t \right )\cos \omega t\; dt-j\int_{-\infty }^{\infty}x_{0}\left ( t \right )\sin \omega t\; dt=X_{e}\left ( \omega \right )+X_{0}\left ( \omega \right )}$$
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