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法学实指数函数和复指数函数的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或s域中的代数方程。
数学上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$是时域函数，则其拉普拉斯变换定义为：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}X\left ( s \right )\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\; dt\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{1} \right )}}$$
公式(1)给出了函数$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$的双边拉普拉斯变换。但对于因果信号，则应用单边拉普拉斯变换，其定义为：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}X\left ( s \right )\mathrm{=}\int_{\mathrm{0} }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\; dt\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{2} \right )}}$$
实指数函数的拉普拉斯变换
情况1 – 增长的实指数函数
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}\mathrm{=}\mathit{e^{at}\, u\left ( t \right )}}$$
现在，根据拉普拉斯变换的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( s \right )\mathrm{=}L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}L\left [ e^{at}\, u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\int_{\mathrm{0} }^{\infty }e^{at}\, u\left ( t \right )e^{-st}\; dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow L\left [e^{at}\: u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\int_{\mathrm{0} }^{\infty } u\left ( t \right )e^{-\left ( s-a \right )t}\; dt\mathrm{=}\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\left ( \mathrm{1} \right )e^{-\left ( s-a \right )t}dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow L\left [e^{at}\: u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\left [ \frac{e^{-\left ( s-a \right )t}}{-\left ( s-a \right )} \right ]_{\mathrm{0}}^{\infty }\mathrm{=}\left [ \frac{e^{-\infty }-e^{\mathrm{0}}}{-\left ( s-a \right )} \right ]\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\left ( s-a \right )}}}$$
此积分在𝑅𝑒(𝑠 − 𝑎) > 0时收敛，即其收敛域为𝑅𝑒(𝑠) > 𝑎，如图1所示。因此，函数$\mathrm{\mathit{\left [ e^{at}u\left ( t \right ) \right ]}}$的拉普拉斯变换及其收敛域为：
$$\mathrm{\mathit{e^{at}\, u\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}\frac{\mathrm{1}}{\left ( s-a \right )} };\;\;\;and\;\;\;ROC\rightarrow Re\left ( \mathit{s} \right )>a}$$
情况2 – 衰减的实指数函数
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}e^{-at}\: u\left ( t \right )}}$$
根据拉普拉斯变换的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( s \right )\mathrm{=}L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}L\left [ e^{-at}u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\int_{\mathrm{0}}^{\infty }e^{-at}u\left ( t \right )e^{-st}\: dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow L\left [ e^{-at}u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\int_{\mathrm{0}}^{\infty }u\left ( t \right )e^{-\left ( s\mathrm{+}a \right )t}\: dt}}\mathrm{=}\mathrm{\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\left ( 1 \right )\mathit{e^{-\left ( s\mathrm{+}a \right )t}\: dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow L\left [ e^{-at}u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\left [ \frac{e^{-\left ( s\mathrm{+}a \right )t}}{-\left ( s\mathrm{+}a \right )} \right ]_{\mathrm{0}}^{\infty }\mathrm{=}\left [ \frac{e^{-\infty } -e^{\mathrm{0}}}{-\left ( s\mathrm{+}a \right )}\right ]\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\left ( s\mathrm{+}a \right )}}}$$
上述积分在𝑅𝑒(𝑠 + 𝑎) > 0时收敛，即其收敛域为𝑅𝑒(𝑠) > −𝑎，如图2所示。因此，函数$\mathrm{\mathit{\left [ e^{-at}u\left ( t \right ) \right ]}}$的拉普拉斯变换及其收敛域为：
$$\mathrm{\mathit{e^{at}\, u\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}\frac{\mathrm{1}}{\left ( s\mathrm{+}a \right )} };\;\;\;\;ROC\rightarrow Re\left ( \mathit{s} \right )>-a}$$
复指数函数的拉普拉斯变换
情况1 – 增长的复指数函数
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}\mathrm{=}\mathit{e^{j\omega t}\, u\left ( t \right )}}$$
现在，根据拉普拉斯变换的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( s \right )\mathrm{=}L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}L\left [ e^{j\omega t}\, u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\int_{\mathrm{0} }^{\infty }e^{j\omega t}\, u\left ( t \right )e^{-st}\; dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow L\left [e^{j\omega t}\: u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\int_{\mathrm{0} }^{\infty } u\left ( t \right )e^{-\left ( s-j\omega \right )t}\; dt\mathrm{=}\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\left ( \mathrm{1} \right )e^{-\left ( s-j\omega \right )t}dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow L\left [e^{j\omega t}\: u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\left [ \frac{e^{-\left ( s-j\omega \right )t}}{-\left ( s-j\omega \right )} \right ]_{\mathrm{0}}^{\infty }\mathrm{=}\left [ \frac{e^{-\infty }-e^{\mathrm{0}}}{-\left ( s-j\omega \right )} \right ]\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\left ( s-j\omega \right )}}}$$
增长的复指数函数的拉普拉斯变换的收敛域为𝑅𝑒(𝑠) > 0，如图3所示。因此，函数$\mathrm{\mathit{\left [ e^{j\, \omega t}u\left ( t \right ) \right ]}}$的拉普拉斯变换及其收敛域为：
$$\mathrm{\mathit{e^{j\omega t}\, u\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}\frac{\mathrm{1}}{\left ( s-j\omega \right )} };\;\;\;\;ROC\rightarrow Re\left ( \mathit{s} \right )>0}$$
情况2 – 衰减的复指数函数
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}\mathrm{=}\mathit{e^{-j\omega t}\, u\left ( t \right )}}$$
根据拉普拉斯变换的定义，我们有：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( s \right )\mathrm{=}L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}L\left [ e^{-j\omega t}u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\int_{\mathrm{0}}^{\infty }e^{-j\omega t}u\left ( t \right )e^{-st}\: dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow L\left [e^{-j\omega t}\: u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\int_{\mathrm{0} }^{\infty } u\left ( t \right )e^{-\left ( s\mathrm{+}j\omega \right )t}\; dt\mathrm{=}\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\left ( \mathrm{1} \right )e^{-\left ( s\mathrm{+}j\omega \right )t}dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow L\left [e^{-j\omega t}\: u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\left [ \frac{e^{-\left ( s\mathrm{+}j\omega \right )t}}{-\left ( s\mathrm{+}j\omega \right )} \right ]_{\mathrm{0}}^{\infty }\mathrm{=}\left [ \frac{e^{-\infty }-e^{\mathrm{0}}}{-\left ( s\mathrm{+}j\omega \right )} \right ]\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\left ( s\mathrm{+}j\omega \right )}}}$$
衰减的复指数函数的拉普拉斯变换的收敛域也为𝑅𝑒(𝑠) > 0，如图3所示。因此，函数$\mathrm{\mathit{\left [ e^{-j\, \omega t}u\left ( t \right ) \right ]}}$的拉普拉斯变换及其收敛域为：
$$\mathrm{\mathit{e^{-j\omega t}\, u\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}\frac{\mathrm{1}}{\left ( s\mathrm{+}j\omega \right )} };\;\;\;\;ROC\rightarrow Re\left ( \mathit{s} \right )>0}$$
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