双边实指数函数的傅里叶变换

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傅里叶变换

连续时间函数$x(t)$的傅里叶变换定义为：

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$

双边实指数函数的傅里叶变换

设双边实指数函数为：

$$\mathrm{x(t)=e^{-a|t|}}$$

双边实指数函数定义为：

$$\mathrm{e^{-a|t|}=\begin{cases}e^{at} & t ≤ 0\\e^{-at} & t ≥ 0 \end{cases} =e^{at}u(-t)+e^{-at}u(t) }$$

其中，函数$u(t)$和$u(-t)$分别为单位阶跃函数和时间反转单位阶跃函数。

根据傅里叶变换的定义，我们有：

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{−\infty}^{\infty}e^{-a|t|}e^{-j\omega t}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}[e^{at}u(-t)+e^{-at}u(t)]e^{-j\omega t}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{0}e^{at}e^{-j\omega t}dt+\int_{0}^{\infty}e^{-at}e^{-j\omega t}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{-\infty}^{0}e^{(a-j\omega)t}dt+\int_{0}^{\infty}e^{-(a+j\omega)t}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-(a-j\omega)t}dt+\int_{0}^{\infty}e^{-(a+j\omega)t}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\left[\frac{e^{-(a-j\omega)t}}{-(a-j\omega)}\right]_{0}^{\infty}+\left[\frac{e^{-(a+j\omega)t}}{-(a+j\omega)}\right]_{0}^{\infty}=\left[\frac{e^{-\infty}-e^{0}}{-(a-j\omega)} \right]+\left[\frac{e^{-\infty}-e^{0}}{-(a+j\omega)} \right]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{1}{a-j\omega}+\frac{1}{a+j\omega}=\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}}$$

因此，双边实指数函数的傅里叶变换为：

$$\mathrm{F[e^{-a|t|}]=X(\omega)=\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}}$$

或者，也可以表示为：

$$\mathrm{e^{-a|t|}\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}}$$

双边实指数函数的傅里叶变换的幅度和相位表示：

$$\mathrm{幅度,\:|X(\omega)|=\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}};\:\:对所有\:\omega}$$

$$\mathrm{相位,\angle X(\omega)=0;\:\:对所有\:\omega}$$

双边实指数函数及其幅度和相位谱的图形表示如图所示。（此处应插入图表）