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法学双边和有限持续时间信号的拉普拉斯变换及其收敛域
什么是收敛域？
收敛域 (ROC) 定义为 s 平面中函数 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的拉普拉斯变换收敛的点集。换句话说，函数 𝑋(𝑠) 收敛的 𝑅𝑒(𝑠) (即 𝜎) 的范围称为收敛域。
双边信号的 ROC
如果信号 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 从 -∞ 延伸到 +∞，则称其为双边信号。双边信号可以表示为两个不重叠信号的和，其中一个为右单边信号，另一个为左单边信号，如图 1 所示。
对于双边信号，拉普拉斯变换 𝑋(𝑠) 的 ROC 在 s 平面上呈条带状，由两条线 𝜎 = 𝜎r 和 𝜎 = 𝜎 i begrenzt。
数值例子 - 1
求双边信号 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}\mathrm{\mathrm{2}}e^{-\mathrm{3}t}u\left ( t \right )\mathrm{+}\mathrm{3}e^{\mathrm{4}t}u\left ( -t \right )}}$ 的拉普拉斯变换和 ROC。
解答
给定信号为：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}\mathrm{\mathrm{2}}e^{-\mathrm{3}t}u\left ( t \right )\mathrm{+}\mathrm{3}e^{\mathrm{4}t}u\left ( -t \right )}}$$
由于给定信号是双边信号，信号 𝑥(𝑡) 的拉普拉斯变换由下式给出：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\mathrm{2}L\left [ e^{-\mathrm{3}t}u\left ( t \right )\right ]\mathrm{+}\mathrm{3}L\left [ e^{\mathrm{4}t}u\left ( -t \right ) \right ] }}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{2}}{s\mathrm{\mathrm{+}}\mathrm{3}}-\frac{\mathrm{3}}{s-\mathrm{4}};\;\mathrm{ROC} \to Re\left ( s \right )> -\mathrm{3}\: \mathrm{and}\: Re\left ( s \right )< \mathrm{4}}}$$
因此，信号 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的拉普拉斯变换的 ROC 为：
$$\mathrm{\mathit{Re\left ( s \right )> -\mathrm{3}\cap Re\left ( s \right )< \mathrm{4}\mathrm{=}-\mathrm{3}< Re\left ( s \right )< \mathrm{4}}}$$
给定信号 𝑥(𝑡) 的拉普拉斯变换的 ROC 如图 2 所示。可以看出，给定双边信号的 ROC 在 s 平面上呈条带状，位于 s = −3 处的极点右侧和 s = +4 处的极点左侧。
有限持续时间信号的 ROC
如果信号 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 在 $\mathrm{\mathit{t< T_{\mathrm{1}}}}$ 和 $\mathrm{\mathit{t> T_{\mathrm{2}}}}$ 时 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ = 0，则称其为有限持续时间信号，其中 $\mathrm{\mathit{T_{\mathrm{1}}}}$ 和 $\mathrm{\mathit{T_{\mathrm{2}}}}$ 是某些有限的时间瞬间，如图 3 所示。
对于绝对可积的有限持续时间信号，其拉普拉斯变换的 ROC 扩展到整个 s 平面。
数值例子 - 2
求图 4 所示的有限持续时间信号 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的拉普拉斯变换和 ROC。
解答
描述给定有限持续时间信号的方程为：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}\left [ u\left ( t-T_{\mathrm{1}} \right )-u\left ( t-T_{\mathrm{2}} \right ) \right ]}}$$
该信号的两项都是因果的。该信号的拉普拉斯变换如下所示：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}L\left [ u\left ( t-T_{\mathrm{1}} \right )\right ]-L\left [ u\left ( t-T_{\mathrm{2}} \right ) \right ] }}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( s \right )\mathrm{=}\left ( \frac{e^{-T_{\mathrm{1}}s}}{s}-\frac{e^{-T_{\mathrm{2}}s}}{s} \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore X\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{s}\left ( {e^{-T_{\mathrm{1}}s}}-{e^{-T_{\mathrm{2}}s}} \right );}\; \; ROC\rightarrow 所有\; \mathit{s}}$$
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