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法学拉普拉斯变换——存在条件、收敛域、优缺点
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 *s* 域中的代数方程。
数学上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 是一个时域函数，那么它的拉普拉斯变换定义为：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( \mathrm{t} \right ) \right ]}\mathrm{=} \mathit{X\left ( s \right )}\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty}\mathit{x\left ( \mathrm{t} \right )e^{-st}\; dt}\; \; ...\left ( 1 \right )}$$
其中，𝑠 是一个复变量，由下式给出：
$$\mathrm{s = \sigma + j\omega }$$
算子 L 称为 *拉普拉斯变换算子*，它将时域函数转换为 s 域函数。
由于线性时不变 (LTI) 系统由微分方程描述，并且系统的响应是通过求解与其输入和输出相关的微分方程获得的。但是，求解高阶微分方程非常繁琐且耗时，因此使用拉普拉斯变换来求解这些微分方程。拉普拉斯变换将时域微分方程转换为 s 域的代数方程，在 s 域中得到解，然后可以通过对解进行拉普拉斯逆变换得到时域解。
拉普拉斯变换的存在条件
函数 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 的拉普拉斯变换，即函数 $\mathrm{X \mathit{\left ( \mathit{s} \right )}}$ 存在，当且仅当
$$\mathrm{\mathit{\int_{-\infty }^{\infty }\left|x\left ( t \right )e^{-\sigma t} \right|dt< \infty }}$$
或者，当且仅当
$$\mathrm{\mathit{\displaystyle \lim_{t \to \infty }x\left ( t \right )e^{-st}\mathrm{=}\mathrm{0}}}$$
因此，拉普拉斯变换存在的充分必要条件是：
函数 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 在给定的闭区间内应是分段连续的，并且必须是指数阶的。
函数 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )e^{-st}}}$ 应该是绝对可积的。
拉普拉斯变换的收敛域
*收敛域 (ROC)* 定义为 s 平面中的一组点，对于这些点，函数 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 的拉普拉斯变换（即函数 $\mathrm{X \mathit{\left ( \mathit{s} \right )}}$）收敛。
**说明** – 对于给定的函数 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$，由公式 (1) 给出的拉普拉斯变换可能并非对所有复变量 s 的值都收敛。由于变量 (𝑠) 的每个值都对应于 s 平面上的一个特定点。如果没有对应于变量 (𝑠) 的值，即在 s 平面上没有点使拉普拉斯积分收敛，那么函数 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 没有收敛域 (ROC)，因此它不可拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换收敛域的性质
以下是拉普拉斯变换 ROC 的性质：
拉普拉斯变换的 ROC 不包含任何极点。
$\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 的拉普拉斯变换，即函数 $\mathrm{X \mathit{\left ( \mathit{s} \right )}}$ 的 ROC 受极点限制或延伸到无穷大。
两个或多个信号之和的 ROC 等于这些信号 ROC 的交集。
拉普拉斯变换的 ROC 必须是一个连通区域。
如果函数 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 是右单边函数，则 $\mathrm{X \mathit{\left ( \mathit{s} \right )}}$ 的 ROC 延伸到最右边极点的右边，并且 ROC 内没有极点。
如果信号 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 是左单边信号，则拉普拉斯变换 $\mathrm{X \mathit{\left ( \mathit{s} \right )}}$ 的 ROC 延伸到最左边极点的左边，并且 ROC 内没有极点。
如果信号 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 是双边信号，则拉普拉斯变换 $\mathrm{X \mathit{\left ( \mathit{s} \right )}}$ 的 ROC 是 s 平面上受极点限制的条带，并且 ROC 内没有极点。
冲激信号是唯一 ROC 为整个 s 平面的信号。
s 平面的虚轴包含稳定 LTI 系统的 ROC。
拉普拉斯变换的优缺点
以下是使用拉普拉斯变换技术的**优点**：
拉普拉斯变换具有收敛因子，因此比傅里叶变换更通用。这意味着在傅里叶变换中不收敛的信号在拉普拉斯变换中是收敛的。
使用拉普拉斯变换，可以将描述系统的微分方程转换为简单的代数方程。因此，使用拉普拉斯变换分析 LTI 系统变得更容易。
拉普拉斯变换可以用来分析不稳定系统。
时域中的卷积运算可以转换为 *s* 域中的乘法运算。
使用拉普拉斯变换的**缺点**如下：
$\mathrm{\mathit{s\mathrm{=}j\omega }}$ 仅用于稳态正弦分析。
使用拉普拉斯变换技术，无法绘制或估计系统的频率响应。只能绘制极零点图。
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