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法学拉普拉斯变换和右侧及左侧信号的收敛域
什么是收敛域？
收敛域 (ROC) 定义为 s 平面上使函数 x(t) 的拉普拉斯变换收敛的点集。换句话说，使函数 X(s) 收敛的 Re(s) (即 σ) 的范围称为收敛域。
右侧信号的ROC
如果信号 x(t) 在 t < T1 时为 0，其中 T1 为某个有限时间（如图 1 所示），则称信号 x(t) 为右侧信号。
对于右侧信号 x(t)，拉普拉斯变换 X(s) 的 ROC 为 Re(s)>σ1，其中 σ1 为常数。因此，右侧信号的拉普拉斯变换的 ROC 在直线 σ=σ1 的右侧。因果信号是右侧信号的一个例子。
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数值例子 - 1
求右侧信号 x(t)=2e−4tu(t)+4e−4tu(t) 的拉普拉斯变换和 ROC。
解答
给定信号为：
x(t)=2e−4tu(t)+4e−4tu(t)
给定信号是右侧信号。实际上，它是一个因果信号。它的拉普拉斯变换由下式给出：
L[x(t)]=2L[e−4tu(t)]+4L[e−2tu(t)]
⇒X(s)=(2s+4)+(4s+2);ROC→Re(s)>−4andRe(s)>−2
因此，给定右侧信号的 ROC 为：
[Re(s)>−4∩Re(s)>−2]=Re(s)>−2
⇒ROC→Re(s)>−2
给定信号的拉普拉斯变换的 ROC 如图 2 所示。需要注意的是，ROC 延伸到最右极点的右侧，并且 ROC 内不存在极点。
左侧信号的ROC
如果信号 x(t) 在 t > T2 时为 0，其中 T2 为某个有限时间（如图 3 所示），则称信号 x(t) 为左侧信号。
对于左侧信号 x(t)，拉普拉斯变换 X(s) 的 ROC 为 Re(s)<σ2，其中 σ2 为常数。因此，左侧信号的拉普拉斯变换的 ROC 在直线 σ=σ2 的左侧。反因果信号是左侧信号的一个例子。
数值例子 - 2
求左侧信号 x(t)=e2tu(−t)+3e5tu(−t) 的拉普拉斯变换和 ROC。
解答
给定信号为：
x(t)=e2tu(−t)+3e5tu(−t)
由于给定信号是左侧信号，因此它是一个反因果信号。信号 x(t) 的拉普拉斯变换由下式给出：
L[x(t)]=L[e2tu(−t)]+3L[e5tu(−t)]
⇒X(s)=−1s−2−3s−5;ROC→Re(s)<2andRe(s)<5
因此，给定左侧信号的拉普拉斯变换的 ROC 为：
[Re(s)<2∩Re(s)<5]=Re(s)<2
⇒ROC→Re(s)<2
左侧信号 x(t) 的 ROC 如图 4 所示。需要注意的是，ROC 延伸到最左极点的左侧，并且 ROC 内不存在极点。
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