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法律研究信号与系统 – 使用拉普拉斯变换求解微分方程
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或s域中的代数方程。
数学上，如果x(t)是时域函数，则其拉普拉斯变换定义为：
L[x(t)]=X(s)=∫∞−∞x(t)e−stdt
使用拉普拉斯变换求解微分方程
线性时不变 (LTI) 系统由常系数微分方程描述，这些方程将系统的输入和输出联系起来。LTI 系统的响应是通过求解这些微分方程得到的。
拉普拉斯变换技术可用于求解描述 LTI 系统的微分方程。使用拉普拉斯变换，时域中的微分方程被转换为s域中的代数方程。通过操作代数方程，在s域中获得解。然后通过对响应进行拉普拉斯反变换，将其转换回时域。
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解释
考虑一个输入为x(t)，输出为y(t)的 LTI 系统，并由以下微分方程描述：
andndtny(t)+an−1dn−1dtn−1y(t)+...+a0y(t)=bmdmdtmx(t)+bm−1dm−1dtm−1x(t)+...+b0x(t)...(1)
当系统的初始条件为零时，即
y(0−)=dy(0−)dt=d2y(0−)dt2...=d(n−1)y(0−)dt(n−1)=0
以及
x(0−)=dx(0−)dt=d2x(0−)dt2...=d(m−1)x(0−)dt(m−1)=0
现在对式 (1) 中给出的微分方程的两边应用拉普拉斯变换，并忽略初始条件，我们得到：
L[andndtny(t)]+L[an−1dn−1dtn−1y(t)]+...L[a0y(t)]=L[bmdmdtmx(t)]+L[bm−1dm−1dtm−1x(t)]+...L[b0x(t)]
⇒ansnY(s)+an−1sn−1Y(s)+...+a0Y(s)=bmsmX(s)+bm−1sm−1X(s)+...+b0X(s)
⇒(ansn+an−1sn−1+...+a0)Y(s)=(bmsm+bm−1sm−1+...+b0)X(s)
⇒Y(s)X(s)=(bmsm+bm−1sm−1+...+b0)(ansn+an−1sn−1+...+a0)...(2)
方程 (2) 称为 LTI 系统的**传递函数**。因此，LTI 系统的传递函数定义为输出 [Y(s)] 的拉普拉斯变换与输入 [X(s)] 的拉普拉斯变换之比，且初始条件为零。
LTI 系统的传递函数也可以定义为系统脉冲响应的拉普拉斯变换，即
H(s)=Y(s)X(s)...(3)
函数 H(s) 仅取决于描述系统的微分方程的系数，它不取决于输入信号或系统存储的初始能量。
由于系统在s域中的响应由下式给出：
Response,Y(s)=H(s)X(s)...(4)
对式 (4) 进行拉普拉斯反变换，我们得到：
y(t)=L−1[H(s)X(s)]...(5)
方程 (5) 称为系统的**零状态响应**。
现在，如果脉冲函数是系统的输入，即 x(t)=δ(t)，则 X(s)=1。因此，式 (5) 可以写成
y(t)=L−1[H(s)]=h(t)...(6)
方程 (6) 称为系统的**脉冲响应**。
数值示例
求由以下微分方程描述的系统的传递函数：
d2dt2y(t)+5ddty(t)+10y(t)=3ddtx(t)+8x(t)
解答
给定的微分方程为：
d2dt2y(t)+5ddty(t)+10y(t)=3ddtx(t)+8x(t)
忽略初始条件，并在方程两侧进行拉普拉斯反变换，我们得到：
L[d2dt2y(t)+5ddty(t)+10y(t)]=L[3ddtx(t)+8x(t)]
⇒s2Y(s)+5sY(s)+10Y(s)=3sX(s)+8X(s)
⇒(s2+5s+10)Y(s)=(3s+8)X(s)
因此，系统的传递函数为：
H(s)=Y(s)X(s)=(3s+8s2+5s+10)
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