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法律研究信号与系统 – 使用拉普拉斯变换求解微分方程
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或s域中的代数方程。
数学上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$是时域函数，则其拉普拉斯变换定义为：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}}$$
使用拉普拉斯变换求解微分方程
线性时不变 (LTI) 系统由常系数微分方程描述，这些方程将系统的输入和输出联系起来。LTI 系统的响应是通过求解这些微分方程得到的。
拉普拉斯变换技术可用于求解描述 LTI 系统的微分方程。使用拉普拉斯变换，时域中的微分方程被转换为s域中的代数方程。通过操作代数方程，在s域中获得解。然后通过对响应进行拉普拉斯反变换，将其转换回时域。
解释
考虑一个输入为$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$，输出为$\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$的 LTI 系统，并由以下微分方程描述：
$$\mathrm{\mathit{a_{n}}\frac{\mathrm{\mathit{d}} ^{\mathit{n}}}{\mathrm{\mathit{d}}\mathit{t}^{\mathit{n}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{n-\mathrm{1}}}\frac{\mathrm{\mathit{d}} ^{\mathit{n-\mathrm{1}}}}{\mathrm{\mathit{d}}t^{\mathit{n-\mathrm{1}}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{+}\:...\:\mathrm{+}\mathit{a_{\mathrm{0}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{b_{m}}\frac{\mathrm{\mathit{d}} ^{\mathit{m}}}{\mathrm{\mathit{d}}\mathit{t}^{\mathit{m}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{m-\mathrm{1}}}\frac{\mathrm{\mathit{d}} ^{\mathit{m-\mathrm{1}}}}{\mathrm{\mathit{d}}t^{\mathit{m-\mathrm{1}}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{+}\:...\:\mathrm{+}\mathit{b_{\mathrm{0}}}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$
当系统的初始条件为零时，即
$$\mathrm{\mathit{y}\mathrm{\left(\mathrm{\mathrm{0}^{-}}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{\mathit{d}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathrm{0}^{-}\right)}} }{\mathrm{\mathit{d}} \mathit{t}}\:\mathrm{=}\frac{\mathrm{\mathit{d}^{\mathrm{2}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathrm{0}^{-}\right)}} }{\mathrm{\mathit{d}} \mathit{t}^{\mathrm{2}}}\:...\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{d^{\mathrm{\left ( \mathit{n-\mathrm{1}}\right)}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathrm{0}^{-}\right)}}}{\mathit{dt^{\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{1}}\right )}}}}\:\mathrm{=}\:\mathrm{0}}$$
以及
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{\mathrm{0}^{-}}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{\mathit{d}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}^{-}\right)}} }{\mathrm{\mathit{d}} \mathit{t}}\:\mathrm{=}\frac{\mathrm{\mathit{d}^{\mathrm{2}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}^{-}\right)}} }{\mathrm{\mathit{d}} \mathit{t}^{\mathrm{2}}}\:...\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{d^{\mathrm{\left ( \mathit{m-\mathrm{1}}\right)}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}^{-}\right)}}}{\mathit{dt^{\mathrm{\left(\mathit{m-\mathrm{1}}\right )}}}}\:\mathrm{=}\:\mathrm{0}}$$
现在对式 (1) 中给出的微分方程的两边应用拉普拉斯变换，并忽略初始条件，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{a_{n}}\frac{\mathrm{\mathit{d}} ^{\mathit{n}}}{\mathrm{\mathit{d}}\mathit{t}^{\mathit{n}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right]}\:\mathrm{+}\:\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{a_{n-\mathrm{1}}}\frac{\mathrm{\mathit{d}} ^{\mathit{n-\mathrm{1}}}}{\mathrm{\mathit{d}}t^{\mathit{n-\mathrm{1}}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right]}\:\mathrm{+}\:...\mathit{L}\mathrm{\left[ \mathit{a_{\mathrm{0}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{L}\mathrm{\left[ \mathit{b_{m}}\frac{\mathrm{\mathit{d}} ^{\mathit{m}}}{\mathrm{\mathit{d}}\mathit{t}^{\mathit{m}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{+}\:\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{b_{m-\mathrm{1}}}\frac{\mathrm{\mathit{d}} ^{\mathit{m-\mathrm{1}}}}{\mathrm{\mathit{d}}t^{\mathit{m-\mathrm{1}}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right]}\:\mathrm{+}\:...\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{b_{\mathrm{0}}}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{a_{n}}\mathit{s^{n}}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{n-\mathrm{1}}}\mathit{s^{n-\mathrm{1}}}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathit{+}\:...\mathrm{+}\mathit{a_{\mathrm{0}}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}\:\mathrm{=}\:\mathit{b_{m}}\mathit{s^{m}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{m-\mathrm{1}}}\mathit{s^{m-\mathrm{1}}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{+}\:...\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{\mathrm{0}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathrm{\left(\mathit{a_{n}}\mathit{s^{n}}\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{n-\mathrm{1}}}\mathit{s^{n-\mathrm{1}}}\:\mathrm{+}\:...\:\mathrm{+}\:\mathit{a}_{\mathrm{0}} \right)}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left(\mathit{b_{m}}\mathit{s^{m}}\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{m-\mathrm{1}}}\mathit{s^{m-\mathrm{1}}}\:\mathrm{+}\:...\:\mathrm{+}\:\mathit{b}_{\mathrm{0}} \right)}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{\mathit{\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}}{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{\left( \mathit{b_{m}}\mathit{s^{m}}\:\mathrm{+}\:\mathit{b_{m-\mathrm{1}}}\mathit{s^{m-\mathrm{1}}}\:\mathrm{+}\:...\:\mathrm{+}\:\mathit{b}_{\mathrm{0}}\right )}}{\mathrm{\left ( \mathit{a_{n}}\mathit{s^{n}}\:\mathrm{+}\:\mathit{a_{n-\mathrm{1}}}\mathit{s^{n-\mathrm{1}}}\:\mathrm{+}\:...\:\mathrm{+}\:\mathit{a}_{\mathrm{0}} \right )}}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$
方程 (2) 称为 LTI 系统的**传递函数**。因此，LTI 系统的传递函数定义为输出 [Y(s)] 的拉普拉斯变换与输入 [X(s)] 的拉普拉斯变换之比，且初始条件为零。
LTI 系统的传递函数也可以定义为系统脉冲响应的拉普拉斯变换，即
$$\mathrm{\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}}{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}\:\:\:\:\:\:...(3)}$$
函数 H(s) 仅取决于描述系统的微分方程的系数，它不取决于输入信号或系统存储的初始能量。
由于系统在s域中的响应由下式给出：
$$\mathrm{\mathrm{Response\:,}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\:\:\:\:\:...(4)}$$
对式 (4) 进行拉普拉斯反变换，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{L}^{-\mathrm{1}}\mathrm{\left[\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\right]}\:\:\:\:\:\:...(5)}$$
方程 (5) 称为系统的**零状态响应**。
现在，如果脉冲函数是系统的输入，即 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{\delta \mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$，则 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\mathrm{1}$。因此，式 (5) 可以写成
$$\mathrm{\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{L}^{-\mathrm{1}}\mathrm{\left[\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{h}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\:\:\:\:\:...(6)}$$
方程 (6) 称为系统的**脉冲响应**。
数值示例
求由以下微分方程描述的系统的传递函数：
$$\mathrm{\frac{\mathrm{\mathit{d}} ^{\mathrm{2}}}{\mathrm{\mathit{dt}}^{\mathrm{2}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathrm{5}\frac{\mathrm{\mathit{d}} }{\mathrm{\mathit{dt}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathrm{10}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{3}\frac{\mathrm{\mathit{d}} }{\mathrm{\mathit{dt}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathrm{8}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$$
解答
给定的微分方程为：
$$\mathrm{\frac{\mathrm{\mathit{d}} ^{\mathrm{2}}}{\mathrm{\mathit{dt}}^{\mathrm{2}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathrm{5}\frac{\mathrm{\mathit{d}} }{\mathrm{\mathit{dt}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathrm{10}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{3}\frac{\mathrm{\mathit{d}} }{\mathrm{\mathit{dt}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathrm{8}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$$
忽略初始条件，并在方程两侧进行拉普拉斯反变换，我们得到：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\frac{\mathrm{\mathit{d}} ^{\mathrm{2}}}{\mathrm{\mathit{dt}}^{\mathrm{2}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathrm{5}\frac{\mathrm{\mathit{d}} }{\mathrm{\mathit{dt}}}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathrm{10}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{L}\mathrm{\left[\mathrm{3}\frac{\mathrm{\mathit{d}} }{\mathrm{\mathit{dt}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathrm{8}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right ]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{s}^{\mathrm{2}}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathrm{5}\mathit{s}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathrm{10}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{3}\mathit{s}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathrm{8}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathrm{\left( \mathit{s^{\mathrm{2}}\:\mathrm{+}\:\mathrm{5}\mathit{s}\:\mathrm{+}\:\mathrm{10}}\right)}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left( \mathrm{3}\mathit{s}\:\mathrm{+}\:\mathrm{8}\right)}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$$
因此，系统的传递函数为：
$$\mathrm{\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}}{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left( \frac{\mathrm{3}\mathit{s}\:\mathrm{+}\:\mathrm{8}}{\mathit{s^{\mathrm{2}}\:\mathrm{+}\:\mathrm{5}\mathit{s}\:\mathrm{+}\:\mathrm{10}}} \right )}}$$
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